1樓：愛數學
碰到複雜的三角函式積分可以嘗試換元，
然後利用函式奇偶性求解
2樓：電燈劍客
被積函式是偶函式，把區間放大到 [-pi,pi] 後積分也變成原來的2倍
注意到e^(2cosx)cos(2sinx) = re[e^(2e^)]
所以只需計算出 i = \int_^pi e^(2e^)cos(3x) dx 即可
(可以理解為對 i 取實部，也可以利用奇偶性直接看出虛部為 0)
再注意到
e^(2e^)cos(3x)＝[e^(2e^+3ix)+e^(2e^-3ix)]/2
問題進一步轉化為計算
i_1 = \int_^pi e^(2e^+3ix) dx
i_2 = \int_^pi e^(2e^-3ix) dx
對於 i_1，做代換 z = e^ 得到一個整函式的圍道積分，所以 i_1 = 0
對於 i_2，同樣做代換 z = e^ 得到
i_2 = -i \int_c e^/z^4 dz
其中 c 是單位圓周
利用 cauchy 高階導數公式，e^ 在 z=0 處的 3 階導數是 3i_2/pi，所以 i_2 = 8pi/3
代回去得到答案是 2pi/3
定積分∫(-π/2,π/2)(cos^4x+sin^3x)dx=
3樓：匿名使用者
解：∵(cosx)^4是偶函式，(sinx)^3是奇函式
∴∫<-π/2,π/2>(cosx)^4dx=2∫<0,π/2>(cosx)^4dx
∫<-π/2,π/2>(sinx)^3dx=0
故 ∫<-π/2,π/2>((cosx)^4+(sinx)^3)dx
=∫<-π/2,π/2>(cosx)^4dx+∫<-π/2,π/2>(sinx)^3dx
=2∫<0,π/2>(cosx)^4
=(1/2)∫<0,π/2>[3/2+2cos(2x)+cos(4x)/2]dx (應用倍角公式)
=(1/2)[3x/2+sin(2x)+sin(4x)/8]│<0,π/2>
=(1/2)(3π/4)
=3π/8。
4樓：
既然你知道(sinx)^3是奇函式，那麼就等於積分第一項，用兩次倍角公式不就行了？
(cosx)^2=1/2*cos2x+1/2
5樓：匿名使用者
∫(-π/2->π/2)(cosx)^4+(sinx)^3 ]dx=∫(-π/2->π/2)(sinx)^3 dx=2∫(0->π/2)(sinx)^3 dx=-2∫(0->π/2)[1-(cosx)^2 ] dcosx=-2[ cosx - (cosx)^3/3](0->π/2)= 2( 1 -1/3)
= 4/3
求定積分[-派/2，派/2]根號下(cosx-cos^3x)dx
6樓：匿名使用者
先求積分再代入範圍。
原式=∫√cosx[1-(cosx)^2] dx=∫|sinx|√(cosx)dx
=-2∫√(cosx)d(cosx) 此處積分範圍變為(0,π/2)
=-2*(2/3)(cosx)^(3/2)代入範圍得：4/3
關鍵是處理|sinx|的問題，在積分範圍內需要分段處理，因為它並不是一個可導函式。
7樓：匿名使用者
分兩塊積分，前面一部分∫cosxdx (-π/2,π/2) =2;
後一部分由於cosx*dx=d(sinx)，故化為：
∫(cosx)^3dx=∫(1-(sinx)^)d(sinx)=∫cosx*dx-∫(sinx)^2d(sinx)
=(0-0)-(1-1)=0, 其中x∈【-π/2，π/2】；
所以原積分為2
8樓：匿名使用者
∫(cosx-cos^3x)d(x)
=∫cosx*（（sinx）^2）d（x)=∫（sinx）^2d（sinx）
=1/3（sinx）^3+c
那麼原式等於1/3（sinπ/2）^3-1/3（sin（-π/2））^3=2/3
求定積分∫(從0到π/2)sinx^4cos^4dx
9樓：an你若成風
這裡面因為次數略高，所以採用wallis公式
下面是瓦利斯公式，其推導可通過分部積分，這裡不再贅述.
軟體驗證
∫dx/(cosx+2sinx)^2在0到π/2的定積分
10樓：匿名使用者
答案在**上，點選可放大。滿意請點採納，謝謝
11樓：
cosx+2sinx=√5(1/√5cosx+2/√5sinx)=√5(cosxcosθ+sinxsinθ)=√5cos(x-θ)
θ=arccos(1/√5)=arcsin(2/√5)=arctan2=arccot(1/2)
∫[0,π/2]dx/(cosx+2sinx)²=∫[0,π/2]dx/[5cos²(x-θ)]=1/5∫[0,π/2]sec²(x-θ)d(x-θ)=1/5tan(x-θ)[0,π/2]
= 1/5[tan(π/2-θ)-tan(0-θ)]= 1/5(cotθ+tanθ)
= 1/5(1/2+2)
計算定積分:∫cosx(1+sinx)dx,(區間0到π/2 )
12樓：匿名使用者
原式=(cosx＋1/2sin2x)dx=sinx－1/4cos2x
再代入就行了，結果是3/2
13樓：鍾雲浩
∫cosx(1+sinx)dx,(區間0到π/2 )=∫(1+sinx)dsinx,(區間0到π/2 )=(1/2)(1+sinx)^2,(區間0到π/2 )=(1/2)*2^2-(1/2)
=3/2
14樓：夏日羲和
=∫daocosxdx+∫內sinxcosxdx=sinx+(1/2)∫sin2xdx
=sin(π
容/2)-sin0+(1/4)∫sin2xd2x=1-(1/4)cos2x
=1-(1/4)(cosπ-cos0)
=1+1/2
=1.5
15樓：匿名使用者
∫cosx(1+sinx)dx
=∫(1+sinx)dsinx
=sinx+1/2(sinx)^2
=sin(π/2)-sin(0)+1/2[sin(π/2)]^2-1/2[sinx(0)]^2
=3/2
定積分s(π/2,0)cos^3xdx
16樓：匿名使用者
∫(0 π/2) cos³x dx
=∫(0 π/2)cosxcos²x dx=∫(0 π/2)(1-sin²x) d(sinx)=sinx -sin³x/3 (0 π/2)=(1 -1/3)-(0-0)
=2/3
17樓：
∫[0,π/2] cos^3xdx
=∫[0,π/2] (1-sin^2x)dsinx=(sinx-sin^3x/3)[0,π/2]=2/3
∫π/2 0 (cos2x/cosx+sinx)dx 的定積分
18樓：我不是他舅
∫π/2 0 (cos2x/cosx+sinx)dx=∫π/2 0 (cos²x-sin²x)/(cosx+sinx)dx
=∫π/2 0 (cosx-sinx)dx=sinx+cosx π/2 0
=(1+0)-(0+1)=0
∫（0~π）xsinxcosxdx的值？我算的-π/4，答案π/2
19樓：匿名使用者
成|其實是你在去根號的時候要注意，sinxcosx的值應該都是正數，最好寫成|sinxcosx|然後根據專sinx與cosx的影象屬
進行積分的區間劃分，我把積分的區間分成（0，π/2)，(π/2,π）在去絕對值的時候應該是把前面的∫（0，π/2)xsinxcosx dx-∫（π/2,π)xsinxcosx dx這樣就可以得到了π/2的正確答案，希望對您有所幫助！
20樓：匿名使用者
區間再現公式，設t=上下限相加減x代入，算出來=派/2積分f(sinx)，上下限因為負號跟原來一樣了，然後再提個2，原來的上下限縮小。
你這個應該是正負出了問題，在0到派上sinxcosx可能小於零
21樓：左耳的殤傷
有個公式：∫(0~π)xf(sinx)dx=π/2∫(0~π)f(sinx)dx
含有sinx的函式求定積分，在x屬於（0~π）時，可以吧x消掉，變為π/2。證明如下：
22樓：匿名使用者
∫（0~π
）xsinxcosxdx
=x(sinx)^zhi2/2|(0,π）dao-（回1/2）∫（0~π）（sinx）^2dx
=-(1/4)∫（0~π）(1-cos2x)dx=-(1/4)[x-(1/2)sin2x]|(0,π)=-π/4.
解答2 原式=(1/2)∫（0~π）xsin2xdx=(-1/4)xcos2x|(0,π)+(1/4)∫（0~π）cos2xdx
=-π/4+（1/8）sin2x|(0,π)=-π/4.
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