1樓：蒼士恩愈嫻
解：在半球面∑上新增圓面s：(x²+y²=1，z=0)，使之構成封閉曲面v=∑+s。
∵∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0
(∵z=0，∴dz=0)
∴∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz
(應用高斯公式)
=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr
(作球面座標變換)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。
2樓：戈墨徹春辛
解：在半球面∑上新增圓面s：(x²+y²=1，z=0)，使之構成封閉曲面v=∑+s。
∵∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0
(∵z=0，∴dz=0)
∴∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz
(應用高斯公式)
=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr
(作球面座標變換)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。
i=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,積分曲面為上半球面z=√a^2-x^2-y^2外側
3樓：匿名使用者
就一個答案
因為分母x^2+y^2+z^2在曲面σ：x^2+y^2+z^2=a^2上
所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都換為a^2
這是曲線和曲面積分的特性，就能省去挖孔的步驟
但是，若這裡的分母不是x^2+y^2+z^2的話，比如x^2+2y^2+3z^2
做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖一個x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0
的小橢球，來避免奇點，這樣圍成的曲面就能用高斯公式了
再詳細一點的，
許多人都把重積分和線面積分都混淆了
實際上重積分是不能直接這樣代入的
因為重積分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2
但是面積分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2
這個不等號和等號是關鍵所在了
重積分方程要用等號表示時，一定要說明由是哪些曲面圍成的封閉體積
例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的體積，這裡可用等號表示
或者直接說體積範圍是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)
但是，對於曲面積分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)來表示了
只能說由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的曲面的全外側等等
也有一個要點
當是全外(內)側的曲面積分時，若被積函式有相應的積分方程式子
可以先直接代入，但是用了高斯公式變為三重積分後，就不能這麼做了，要注意哦
計算曲面積，i=?(x3+z2)dydz+（y3+x2）dzdx+（z3+y2）dxdy，其中∑為上半球面z=1?x2?y2的上側
4樓：世致
新增曲面s：x
+y≤1
z＝0，方向為z軸的負方向．
令∑和s1所圍成的空間區域為ω，根據高斯公式可得，i1=?
∑+s(x
+z)dydz+(y
+x)dzdx+(z
+y)dxdy=?ω
3(x+y
+z)dxdy
=3∫ 2π0
dθ∫π2
0sinφdφ∫1
0ρdρ=65π．
又因為i2=?s(x
+z)dydz+(y
+x)dzdx+(z
+y)dxdy=?s
ydxdy
=??x
+y≤1
ydxdy
=-∫2π
0sin
θdθ∫10
rdr=-π4
，所以，
i=i1-i2 =65
π+π4
=2920π．
x 3 az 2 dydz y 3 ax 2 dzdx z 3 ay 2 dxdy,其中為上半球面z根號下a 2 x 2 y 2的上冊
補平面 1 z 0，x 2 y 2 a 2，下側，這樣原曲面 與 1共同構成一個封閉曲面 高斯公式 原式 3x 2 3y 2 3z 2 dxdydz 用球座標 3 0 2 0 2 0 a r 2 r 2 sin drd d 3 0 2 d 0 2 sin d 0 a r 4dr 6 cos 1 5 ...
求不定積分x 2（x 2 2 x 3）dx
x 2 x 2x 3 dx 1 2 2x 2 2 2 x 2x 3 dx 1 2 2x 2 x 2x 3 dx 3 dx x 2x 3 1 2 d x 2x 3 x 2x 3 3 dx x 1 2 1 2 ln x 2x 3 3 2 arctan x 1 2 c 對的，定積分的基本定義。0 cos ...
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隱綠柳邸賦 1 x 1 x x 1 設 a x 1 bx c x x 1 通分後計算分母得1，所以 a x x 1 bx c x 1 1 a b x a b c x a c 1a b 0 a b c 0 a c 1 解得a 1 3,b 1 3,c 2 3原式 a x 1 bx c x x 1 1 x...