1樓：丘冷萱
補平面：σ1：z=0，x^2+y^2≤a^2，下側，這樣原曲面σ與σ1共同構成一個封閉曲面
高斯公式：
原式=∫∫∫ (3x^2+3y^2+3z^2)dxdydz
用球座標
=3∫[0-->2π]∫[0-->π/2]∫[0-->a] r^2*r^2*sinφdrdφdθ
=3∫[0-->2π] dθ∫[0-->π/2]sinφdφ∫[0-->a] r^4dr
=6π*[-cosφ]*1/5*r^5 φ：0-->π/2 r：0-->a
=6π*1*1/5*a^5
=6πa^5/5
下面求平面σ1上的積分，代入原積分得：
-∫∫ ay^2dxdy 積分割槽域為：x^2+y^2≤a^2
用一個輪換對稱性，由於∫∫ y^2dxdy=∫∫ x^2dxdy
=-a/2∫∫ (x^2+y^2)dxdy
=-a/2∫[0-->2π]∫[0-->a] r^3dxdy
=-πa*1/4*r^4 [0-->a]
=-πa^5/4
最終結果為二者之差，原積分=6πa^5/5+πa^5/4=29/20πa^5
2樓：匿名使用者
為什麼φ的取值範圍是0～π／2 ？
計算曲面積分∫∫（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy，其中∑為上半球面z=a2?x2?y2的上側
3樓：山治
新增平面∑1：
z＝0x
+y≤a
，方向與z軸負向一致，則∑+∑1構成封閉曲面，
這封閉曲面所圍區域為ω，
ω==．
所以：i=?
（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy
=?∑+∑
（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy-?
∑（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy
=i1-i2．
對於i1，利用高斯公式求得：
i1=?
∑+∑（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy=?ω
（3x2+3y2+3z2）dxdydz
=3∫2π0dθ
∫π20
dφ∫a0
r?rsinφdr=65
πa．對於i2，利用投影法得，
i2=?
∑（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy
=-?x
+y≤a
aydxdy
=-∫2π0
利用高斯公式計算曲面積分，∫∫(∑)x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,其中∑為平面x 100
4樓：尹六六老師
根據高斯公式
原式=∫∫∫(ω)(2x+2y+2z)dxdydz=2∫(0→1)dx∫(0→1-x)dy∫(0→1-x-y)(x+y+z)dz
=∫(0→1)dx∫(0→1-x)[1-(x+y)²]dy=∫(0→1)(2/3-x+1/3x³)dx=1/4
∫∫(x^2-y^2)dydz+(y^2-z^2)dzdx+(z^2-x^2)dxdy利用高斯公式怎麼做啊？不會了，高手進幫助下
5樓：丘冷萱
積分割槽域關於xoz面和yoz面均對稱，因此x，y這兩個奇函式積分為0，
原積分=∫∫∫ z dv
用截面法計算
=∫[0→1] z dz∫∫ 1 dxdy 其中二重積分的積分割槽域是截面：x²/a²+y²/b²≤1-z²
被積函式為1，積分結果是橢圓的面積
x²/a²+y²/b²≤1-z²的面積是：πab(1-z²)=πab∫[0→1] z(1-z²) dz=πab∫[0→1] (z-z³) dz
=πab[(1/2)z²-(1/4)z^4] |[0→1]=πab/4
不過提醒一下，本題要注意，原題中橢球面並不封閉，因此使用gauss公式前要補個平面，所以最後要減去所補的平面。
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