1樓：白羊任任
兩元一次方程
一、重點、難點
1、二元一次方程及其解集
(1)含有兩個未知數，並且未知數項的次數是1的整式方程叫二元一次方程．
(2)二元一次方程的解是無數多組．
2、二元一次方程組和它的解
(1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
(2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做二元一次方程組的解．
3、二元一次方程組的解法
(1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示，然後代入另一個方程，就可以消去一個未知數．
(2)加減消元法：先利用等式的性質，用適當的數同乘以需要變形的方程的兩邊，使兩個方程中某個未知數的係數的絕對值相等，然後把兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數．
4、三元一次方程組及其解法
(1)含有三個未知數，每個方程的未知數的次數都是1，並且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組．
(2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把「三元」轉化為「二元」(將未知問題轉化為已知問題，再將「二元」轉化為「一元」)．
二、例題分析：
例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代數式表示y．2)用含y的代數式表示x．
答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y
例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值．
解：∵|x|=2
∴x=2,或x=-2
又∵x+y=0
∴y=-2,或y=2
故y+2=0,或y+2=4
例3：已知方程組 的解是 ，求a與b的值
分析：方程組的解就是適合原方程組，所以將 代入方程可以得到關於a,b的新的方程。
解：因為方程組
的解是所以 （1）×2得2a-4=2b (3)
（3）-（2）得-5=2b-2
∴b=-
將b=- 代入（1）得a=
∴ 答案：a= , b=-
例4：方程x+3y=10在正整數範圍內的解有_____組，它們是________________。
答案：3；
例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為______．
答案：3x-5y+17=0
例6：已知關於x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。
當 k=_____時，方程為一元一次方程，
當 k=_____時，方程為二元一次方程。
分析：題目中沒有規定未知數，所以x,y都可以。因此注意分兩種可能。
解：第一問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程，
∴ （1）或 （2）
方程組（1）的解為k=-1,(2)無解
∴當k=-1時原方程為一元一次方程
第二問∵關於x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程
∴ 解得k=1
∴當k=1時原方程為二元一次方程
例7：二元一次方程組 的解中x與y互為相反數，求a的值
解：∵原方程組的解中x與y互為相反數
∴x=-y （1）
將（1）代入原方程組，得
∴a=二元一次方程組（二）
一、對應用題的觀察和分析
利用二元一次方程組解有關的應用題時，對應用題進行觀察和分析，要著重注意如下三點：
(1)題中有哪幾個未知數(包括明顯的未知數和隱含的未知數)？
(2)題中的未知數與已知內容之間有哪幾個相等關係(包括明顯的相等關係和隱含的相等關係)？——題中有幾個未知數，一般就要找出幾個相等關係.
(3)設立哪幾個未知數，利用哪幾個相等關係，可以較方便地把其餘未知數用所設未知數的代數式表示出來？(利用剩下的等量關係列方程組.)
二、常見幾類應用題及其基本數量關係
明確各類應用題中的基本數量關係，是正確列出方程的關鍵.常遇到的幾類應用題及其基本關係如下：
1.行程問題：基本關係式為: 速度×時間=距離
2.工程問題：基本關係式為:
工作效率×工作時間=工作總量
計劃數量×超額百分數=超額數量
計劃數量×實際完成百分數=實際數量
3.百分比濃度問題：基本關係式為: 溶液×百分比濃度=溶質
4.混合物問題：基本關係式為:
各種混合物重量之和=混合後的總重量
混合前純物重量=混合後純物重量
混合物重量×含純物的百分數=純物的重量
5.航行問題：基本關係式為:
靜水速度+水速=順水速度
靜水速度-水速=逆水速度
6.數字問題要注意各數位上的數字與數位的關係.
7.倍比問題，要注意一些基本關係術語，如：倍、分、大、小等.
三、例題精析
如何分析應用題：
例1. 某單位外出參觀.若每輛汽車坐45人，那麼15人沒有座位；若每輛汽車坐 60人，則恰好空出一輛汽車，問共需幾輛汽車，該單位有多少人？
思考如下：
（1）題目中的已知條件是什麼？
（2）「有人沒有座位」是指什麼意思？「有空座位」是指什麼意思？3.
基於上述分析，那麼已知條件「每輛車坐45人，15人沒有座位」可理解成什麼？「每輛車坐60人，恰好空出一輛車」又可理解成什麼？
解：設該單位共有x輛車，y個人.依題意，得
解這個方程組，得
答：該單位共有5輛車，240人.
例2. 汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤 小時到達；若每小時行駛50千米，就可以提前 小時到達。求甲、乙兩地間的距離及原計劃行駛的時間。
思考問題：
（1）路程、速度、時間三者關係是什麼？
（2）本題中的「延誤」和「提前」都是以什麼為標準的？
（3）基於上述分析，那麼已知條件「汽車每小時行使45千米，則要延誤 小時到達目的地」可理解成什麼？已知條件「若每小時行駛50千米，就可以提前 小時到達目的地」又可理解成什麼？
解：設甲、乙兩地的距離為x千米，原計劃行駛時間為y小時.依題意，得
解這個方程組，得
答：甲、乙兩地間的距離是450千米，原計劃行使時間為 小時。
例3. 甲、乙兩人在周長是400米的環形跑道上散步.若兩人從同地同時背道而行，則經過2分鐘就相遇.
若兩人從同地同時同向而行，則經過20分鐘後兩人相遇.已知甲的速度較快，求二人散步時的速度.(只列方程，不求出)
分析：這個問題是環形線上的相遇、追及問題.其中有兩個未知數：甲、乙二人各自的速度.有兩個相等關係，即
(1)背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和=400米；
(2)同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400米.
解：設甲人速度為每分鐘x米，乙人速度為每分鐘行走y米.依題意，得
四、如何設未知數
列方程解應用題的第一步是設未知數，設未知數的方法很多，有時可直接設所求量為未知數，有時應間接地設未知數，還有的時候需要增設輔助未知數.那麼，如何巧設未知數，以達到迅速解題的目的呢？
直接設所求量為未知數
例1. a，b兩地相距 20千米.甲、乙兩人分別從a，b兩地同時相向而行，兩小時後在途中相遇，然後甲返回a地，乙仍繼續前進，當甲回到a地時，乙離a地還有2千米.求甲、乙的速度.
分析：這個問題是直線行駛中的相遇、追及問題.其中設兩個未知數：甲、乙各自的速度，有兩個相等關係.
解：設甲人的速度是每小時行x千米，乙人的速度是每小時y千米.依題意，得
解這個方程組，得
合理選擇，間接設元
許多同學在解應用題時只考慮題目要求什麼就設什麼為未知數.這種方法有時很難尋找已知量與未知量之間的相等關係.因此，我們應根據題目條件選擇與要求的未知量有關的某個量為未知數，以便找出符合題意的相等關係，從而達到解題的目的.
例2. 從夏令營到學校，先下山然後走平路，某同學先騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度通過平路，到達學校共用55分鐘，他回來的時候以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山回到夏令營用了1 小時。從夏令營到學校有多少千米？
分析：根據題設條件，若設山路長為未知數x，則由來回的平路長相等得方程：
9 ；同樣可設平路長為未知數，由來回山路長相等得方程 12
還可設山路長和平路長分別為x千米，y千米，由來回的時間關係建立二元一次方程組
或設下山和上山的時間分別為x小時，y小時.由來回山路長和平路長分別相等得到二元一次方程組
設而不求，巧用輔助量
當應用題中涉及的量較多，各個量之間的關係又不明顯時，可適當地增設輔助未知數，目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作橋樑，溝通各個數量之間的關係，為列方程(組)創造條件.在解題過程中需將輔助未知數消去，以便求出所需未知數的值.
例1. 一客輪逆水行駛，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客發現後，輪船立即掉頭去追，已知輪船從掉頭到追上共用5分鐘，問乘客丟失了物品，是幾分鐘後發現的？
解：設x分鐘後發現掉了物品，船靜水速為v1，水速為v2，由題意得
(x＋5)v2＋x(v1-v2)＝5(v1＋v2)，
xv2+5v2＋xv1-xv2＝5v1+5v2，
xv1＝5v1，
∵v1≠0，∴x＝5.
答：乘客5分鐘後發現掉了物品.
注：這裡的輔助未知數是v1和v2
2樓：
所謂不定方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。
不定方程(indeterminate equation)是數論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的範圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多於方程的個數。
古希臘數學家丟番圖於三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯絡。2023年，莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果。
一次不定方程：
二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數，ab ≠ 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。
多元一次：
關於整數多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程式設計等相關方法輔助求解。
二元二次：
二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線（即圓錐曲線）的有理點或整點問題。
高次：對高於二次的不定方程，相當複雜。當n>2時，x^n+y^n=z^n沒有非平凡的整數解 ，即著名的費馬大定理，歷經3個世紀 ，已由英國數學家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。
多元高次不定方程
多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次
域來討論一些特殊的不定方程的整數解．常用的解法
⑴代數恆等變形：如因式分解、配方、換元等；
⑵不等式估演算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變數的範圍，進而求解；
⑶同餘法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；
⑷構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；
⑸無窮遞推法。
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