高數多元函式條件極值此題的解題思路是怎樣的呢

時間 2021-07-09 18:17:25

1樓:裘珍

答:多元函式和一元函式的極值求解方法是不一樣的。f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0,僅僅是函式極值存在的必要條件,這一點和一元函式f'(x)=0是一樣的;但是存在極值點的充分條件是不一樣的;二元函式和一元函式都是看二階導數;但是二元函式的充分條件要複雜一些。

在函式具有二階連續的偏導數的條件下,設f''xx=a,f''xy=b。f''yy=c;

如果ac-b^2>0, 有極值存在,

ac-b^2<0, 沒有極值;

ac-b^2=0,不確定,還需另做討論。

因此,思路為求解可能存在的極值點。求駐點,求二階偏導數,檢驗有無極值,如果只有一個極值點,一般說來就是最點。就不用考察邊界了。

f'x=2xy(4-x-y)-x^2y=0, 令x,y≠0即8-3x-2y=0.....(1)

f'y=x^2(4-x-y)-x^2y=0, 即:4-x-2y=0....(2)

(1)-(2),得:4-2x=0; 解得:x=2, 代入(2),得:y=1;

f''xx=2y(4-x-y)-2xy-2xy=2y(4-x-y)-4xy=2*1*(4-2-1)-4*2*1=-6<0;

f''xy=2x(4-x-y)-2xy-x^2=2*2(4-2-1)-2*2-4=-6;

f''yy=-x^2-x^2=-2x^2=-8;

(-6)*(-8)-(-6)^2=12>0; 為極值點,因為f''xx<0, 為極大值。

f(2,1)=2^2*1(4-2-1)=4, 為函式的最大值。

2樓:

極值在駐點,最值在極值、邊界值中選。

高等數學,多元函式條件極值 50

3樓:匿名使用者

5:x+y=1,y=1-x z=xy=x(1-x)=x-x2,變成一元函式求極值。x=1/2有極大值1/4;或者:

x2-x+z=0, δ=(-1)2-4×1×z=1-4z≥0,z≤1/4;條件極值做法:條件φ(x,y)=x+y-1=0, z=f(x,y)=xy f(x,y;λ)=f(x,y)+λφ(x,y)=xy+λ(x+y-1) f'x=f'x+λφ'x=y+λ=0,y=-λ; f'y=f'y+λφ'y=x+λ=0,x=-λ; f'λ=φ(x,y)=x+y-1=0,-λ-λ-1=0,λ=-1/2,可能的極值點(1/2,1/2); zmax=xy=1/4 對於條件極值,不應該用ac-b2的判別法。 a=f''xx=0,b=f''xy=1,c=f''yy=0,b2-ac=1>0,該判別法認為沒有極值。

ac-b2的判別法適用於無條件極值。無條件時xy∈(-∞,+∞),沒有極值。

高等數學,多元函式微分,條件極值,求最值

4樓:

題目解析很清來楚,

拉格朗源日乘數法,就是新增一個變數 λ,構造一個新的函式,對所有變數包括 λ 求偏導數,所有偏導數等於0的點就是穩定點,函式要取得極值,必須在穩定點上取得,如果有多個穩定點,對所有穩定點的值進行比較,才能求得最值,

構造的函式 f(x, y, z, λ), 括號中明白無誤是 4 個變數,而不是三個變數,

5樓:匿名使用者

前三個方程消去lamda之後,用x把y和z表示出來,帶人最後一個方程,然後求解應該就出來了

6樓:進步的小星

第一個方程與第三個方程可消去y;

得到2λ(z-2x)=0;當λ==0時, x=2√2;當z-2x,x=+-1;

關於高等數學下中的多元函式的極值及其求法?

7樓:匿名使用者

一個三元函式u=f(x,y,z)在一個約束條件g(x,y,z)=0下的條件極值問題有兩種解法,一種就是像你做的,通過約束條件確定隱函式z=h(x,y),代入得u=f(x,y,h(x,y)),成為一個二元函式的普通極值問題,這種方法要求通過方程確定的隱函式z=h(x,y)要能夠寫成顯函式,也就是能把z用x,y表示,否則就像你做的這樣,很麻煩而且容易弄錯了,因為既要用複合函式求導又有隱函式求導,你最後就把自己弄糊塗了,要這樣做,應該把z解出來,代入原目標函式,真正化成二元函式。第二種方法就是解答上的拉格朗日乘數法,很明顯這題不適合第一種方法。

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