實數的幾何意義以及模型是什麼

時間 2021-08-30 09:09:49

1樓:葉憶悅莜

實數實數可以分為有理數和無理數兩類,或代數數和超越數兩類,或正實數,負實數和零三類。有理數可以分成整數和分數,而整數可以分為正整數、零和負整數。分數可以分為正分數和負分數。

無理數可以分為正無理數和負無理數。實數集合通常用字母 r 或 r^n 表示。而r^n 表示 n 維實數空間。

實數是不可數的。實數是實分析的核心研究物件。在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點後 n 位,n 為正整數,包括整數)。

在計算機領域,由於計算機只能儲存有限的小數位數,實數經常用浮點數來表示。

1 基本介紹

實數可以用來測量連續的量。理論上,任何實數都可以用無限小數的方式表示,小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是迴圈的,也可以是非迴圈的)。在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點後 n 位,n 為正整數,包括整數)。

在計算機領域,由於計算機只能儲存有限的小數位數,實數經常用浮點數來表示。

1)相反數(只有符號不同的兩個數,他們的和為零,我們就說其中一個是另一個的相反數) 實數a的相反數是-a,a和-a在數軸上到原點0的距離相等。

2)絕對值(在數軸上一個數a與原點0的距離) 實數a的絕對值是:|a|

①a為正數時,|a|=a(不變)

②a為0時, |a|=0

③a為負數時,|a|= -a(為a的絕對值)

(任何數的絕對值都大於或等於0,因為距離沒有負的。)

3)倒數(兩個實數的乘積是1,則這兩個數互為倒數) 實數a的倒數是:1/a (a≠0)

4)數軸#

定義:如果畫一條直線,規定向右的方向為直線的正方向,在其上取原點o及單位長度oe,它就成為數直線,或稱數軸。

(1)數軸的三要素:原點、正方向和單位長度。

(2)數軸上的點與實數一一對應。

2 實數分類

按性質分類是:正數、負數、0;

按定義分類是:有理數、無理數

2.1 歷史**

埃及人早在大約公元前2023年就開始運用分數了。在公元前500年左右,以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數,據說中國也曾發明負數,但稍晚於印度。

直到17世紀,實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀,微積分學在實數的基礎上發展起來。直到2023年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不迴圈小數,有理數就包括無限迴圈小數、有限小數、整數。 數學上,實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。

本來實數僅稱作數,後來引入了虛數概念,原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。 實數可以分為有理數和無理數兩類,或代數數和超越數兩類,或正數,負數和零三類。實數集合通常用字母 r 或 r^n 表示。

而 r^n 表示 n 維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究物件。

實數可以用來測量連續的量。理論上,任何實數都可以用無限小數的方式表示,小數點的右邊是一個無窮的數列(可以是迴圈的,也可以是非迴圈的)。在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數(保留小數點後 n 位,n 為正整數)。

在計算機領域,由於計算機只能儲存有限的小數位數,實數經常用浮點數來表示

2.2 相關定義

從有理數構造實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進位制或二進位制如 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這裡給出其中一種,其他方法請詳見實數的構造。

公理的方法

設 r 是所有實數的集合,則:

集合 r 是一個域: 可以作加、減、乘、除運算,且有如交換律,結合律等常見性質。

域 r 是個有序域,即存在全序關係≥ ,對所有實數 x, y 和 z:

若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

集合 r 滿足完備性,即任意 r 的有空子集s ( s∈r,s≠φ),若 s 在 r 內有上界,那麼 s 在 r 內有上確界。

最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界,如 1.5;但是不存在有理數上確界(因為 √2 不是有理數)。

實數通過上述性質唯一確定。更準確的說,給定任意兩個有序域 r1 和 r2,存在從 r1 到 r2 的唯一的域同構,即代數學上兩者可看作是相同的。

3 相關性質

3.1 基本運算

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等,對非負數(即正數和0)還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方,結果仍是實數,只有非負實數,才能開偶次方其結果還是實數。

3.2 四則運算封閉性

實數集r對加、減、乘、除(除數不為零)四則運算具有封閉性,即任意兩個實數的和、差、積、商(除數不為零)仍然是實數。

3.3 實數集有序性

實數集是有序的,即任意兩個實數a、b必定滿足下列三個關係之一:ab.

3.4 實數的傳遞性

實數大小具有傳遞性,即若a>b,b>c,則有a>c.

3.5 實數的阿基米德性

實數具有阿基米德(archimedes)性,即對任何a,b ∈r,若b>a>0,則存在正整數n,使得na>b.

3.6 實數的稠密性

實數集r具有稠密性,即兩個不相等的實數之間必有另一個實數,既有有理數,也有無理數.

3.7 實數唯一性

如果在一條直線(通常為水平直線)上確定o作為原點,指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規定為正方向),並規定一個單位長度,則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之,數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是,實數集r與數軸上的點有著一一對應的關係。

完備性作為度量空間或一致空間,實數集合是個完備空間,它有以下性質:

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完備空間。例如,(1, 1.4, 1.

41, 1.414, 1.4142, 1.

41421, ...) 是有理數的柯西序列,但沒有有理數極限。實際上,它有個實數極限 √2。

實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。

3.8 「完備的有序域」

實數集合通常被描述為「完備的有序域」,這可以幾種解釋。

首先,有序域可以是完備格。然而,很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素(對任意元素 z,z + 1 將更大)。所以,這裡的「完備」不是完備格的意思。

另外,有序域滿足戴德金完備性,這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法,即從(有理數)有序域出發,通過標準的方法建立戴德金完備性。

這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而,有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間,而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。

(這裡採用一致空間中的完備性概念,而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性,這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。)當然,r 並不是唯一的一致完備的有序域,但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上,「完備的阿基米德域」比「完備的有序域」更常見。

可以證明,任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當然反之亦然)。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法,即從(有理數)阿基米德域出發,通過標準的方法建立一致完備性。

「完備的阿基米德域」最早是由希爾伯特提出來的,他還想表達一些不同於上述的意思。他認為,實數構成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 r 的子域。這樣 r 是「完備的」是指,在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。

這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法,即從某個包含所有(超實數)有序域的純類出發,從其子域中找出最大的阿基米德域。

3.9 高階性質

實數集是不可數的,也就是說,實數的個數嚴格多於自然數的個數(儘管兩者都是無窮大)。這一點,可以通過康托爾對角線方法證明。實際上,實數集的勢為 2ω(請參見連續統的勢),即自然數集的冪集的勢。

由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數,絕大多數實數是超越數。實數集的子集中,不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合,這就是連續統假設。該假設不能被證明是否正確,這是因為它和集合論的公理不相關。

所有非負實數的平方根屬於 r,但這對負數不成立。這表明 r 上的序是由其代數結構確定的。而且,所有奇數次多項式至少有一個根屬於 r。

這兩個性質使 r成為實封閉域的最主要的例項。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。

實數集擁有一個規範的測度,即勒貝格測度。

實數集的上確界公理用到了實數集的子集,這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集:1.

löwenheim-skolem定理說明,存在一個實數集的可數稠密子集,它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題;2. 超實數的集合遠遠大於 r,但也同樣滿足和 r 一樣的一階邏輯命題。滿足和 r 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 r 的非標準模型。

這就是非標準分析的研究內容,在非標準模型中證明一階邏輯命題(可能比在 r 中證明要簡單一些),從而確定這些命題在 r 中也成立。

3.10 拓撲性質

實數集構成一個度量空間:x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集,它也具有序拓撲。

這裡,從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、區域性緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。

這些可以通過特定的性質來確定,例如,無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽:

令 a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

r 是可分空間。

q 在 r 中處處稠密。

r的開集是開區間的聯集。

r的緊子集是有界閉集。特別是:所有含端點的有限線段都是緊子集。

每個r中的有界序列都有收斂子序列。

r是連通且單連通的。

r中的連通子集是線段、射線與r本身。由此性質可迅速匯出中間值定理。

4 相關介紹

4.1 擴充套件與一般化

實數集可以在幾種不同的方面進行擴充套件和一般化:

最自然的擴充套件可能就是複數了。複數集包含了所有多項式的根。但是,複數集不是一個有序域。

實數集擴充套件的有序域是超實數的集合,包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德域。

有時候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數集,構成擴充套件的實數軸。它是一個緊緻空間,而不是一個域,但它保留了許多實數的性質。

希爾伯特空間的自伴隨運算元在許多方面一般化實數集:它們可以是有序的(儘管不一定全序)、完備的;它們所有的特徵值都是實數;它們構成一個實結合代數。

希望對你有用!

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