1樓：匿名使用者
有實際意義，是我們在計算或解方程中遇到的一些實際存在的數。他們是可以用數軸上的點來表示的數。
有理數和無理數統稱實數。 實數是相對於虛數的概念, 是一種能和數軸上的點有一對一的對應關係的數。
數學上，實數直觀地定義為和數線上的點一一對應的數。本來實數只喚作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零三類。實數集合通常用字母 r 或 \bbb 表示。而 rn 表示 n 維實數空間。
實數是不可數的。實數是實分析的核心研究物件。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是迴圈的，也可以是非迴圈的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數）。
在計算機領域，由於計算機只能儲存有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。
2樓：匿名使用者
研究實數的基本理論，是極為重要的。它是分析數學的根基。如果直接承認實數連續統（參見有名的對於實數集r的切割命題），是不能令人滿意的，因為它不是更基本的。
基本的應該從自然數和有理數出發來構造「實數」。
實數的定義，或者說實數的構造，有兩種經典的方式。一種是戴德金的，一種是康托爾的。我們將會陸續討論。
戴德金定義實數的基本思想是對有理數集合進行劃分或切割。一種方式是使用有理區間套定義實數。這是一種通俗的方式，但我後來注意到它不是足夠的嚴格。
它把有理數集合q劃分成三類（不妨按順序用集合a，c，b表示）。然後它說c集合中包含唯一的有理數，或者為空。在c為空的情況下，它斷定這就代表唯一的無理數。
另一種方式具有差不多相同的思想，它對有理數集合q進行「切割」，即把q劃分成兩個非空集合a和b，其中a中的任一元素小於b中的任一元素。那麼立即呈現四種可能：
1) a中有最大元素，b中有最小元素
2) a中有最大元素，b中無最小元素
3) a中無最大元素，b中有最小元素
4) a中無最大元素，b中無最小元素
但是第一種情況是不可能的。因為可以取a中最大和b中最小的平均值，位於二者之間，那麼此值屬於a還是b呢？矛盾。
第二，第三種情況都是容易看出是可能的。至於第四種情況，也被證明是可能的。將來我們會證明這一點。
並且看到，這就是無理分割點。
康托爾的實數定義建立在有理數基本序列基礎上。它面對和要解決這樣的問題：對於一個自身具有「凝聚」趨勢的有理數序列，它是否收斂到一個數？
結果發現某些有理數基本序列，在有理數範圍內並不存在它要收斂到的那個數。這個事實揭示了有理數域的侷限性：對於極限運算不封閉。
柯西曾猜想這樣的序列收斂到無理數。但他沒有解決極限的存在和無理數定義的邏輯迴圈的矛盾。
3樓：燕子少兒
實數的定義是什麼，數學小知識
實數的定義
4樓：穆子澈想我
實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。
但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成複數。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 r 表示。r表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究物件。
所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用r表示。
由於r是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。
實數的分類
一、按定義分：有理數、無理數。
1、有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。
2、無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e。
二、按正負分：正數、負數、0。
1、正數是數學術語，比0大的數叫正數（positive number），0本身不算正數。正數與負數表示意義相反的量。正數前面常有一個符號「+」，通常可以省略不寫。
2、負數是數學術語，比0小的數叫做負數，負數與正數表示意義相反的量。負數用負號（minus sign，即相當於減號）「－」和一個正數標記，如−2，代表的就是2的相反數。於是，任何正數前加上負號便成了負數。
一個負數是其絕對值的相反數。
3、0是介於-1和1之間的整數。是最小的自然數，也是有理數。0既不是正數也不是負數，而是正數和負數的分界點。
0沒有倒數，0的相反數是0，0的絕對值是0，0的所有倍數都是0。0不能作為除數。
5樓：初數寧靜致遠
戴德金方法：有人批評戴德金分割（a，b）存在不夠完備的地方。因為按照他定義無理數的方法，即如果a中無最大數，b中也無最小數，則稱此「分割」為一個無理數。
針對這種定義，有批評者問：在a中無最大數，b中也無最小數時，必須事先證明a與b之間的「空隙」只能容納一個點，才能將此「分割」定義為一個（無理數）實數，但戴德金並未作此證明，就將此分割定義為一個實數而不是若干個甚至無數個實數，此空隙內是否還有非實數存在，戴德金也未給出否定的證明，這是否是戴德金實數理論的缺陷？批評者說，數學家戴德金是為了證明實數的完備性才這樣定義實數的，他用這個不合理的實數定義迴避了無窮小危機。
對此有反對者說，以上批評者說的「空隙」一詞，是沒有意義的；其說的「一個點「的」點「字也是沒有意義的，而戴德金的「分割」一詞是有嚴格的定義的，採用的是經典的集合論的概念。按照集合論中的概念，「同一個「分割和」不相同「的分割，區分是很明確的，邏輯是很嚴密的；「同一個「分割定義成同一個實數，」不同的「分割是不同的實數，因此說」空隙「是否」一個點「的問題天然就不存在。
康託方法：康託無疑是連續統（有理數與無理數的統稱）理論的創始人之一，有人說他是「實數理論研究的終結者」。但是他在建立連續統理論的時候首先涉及的概念是有限與無限，但是他也沒有給出嚴格的定義，因為這也是很困難的，因為有限與無限是一對矛盾。
6樓：劉瑛蕾
有理數與無理數總稱為實數。
而無理數則不然，從它的發現到它的嚴格定義，是曲折而漫長的。所以研究實數理論主要是研究無理數理論。
到了19世紀70年代，著名的德國數學家外爾斯特拉斯 1815-1897 、康托爾 1845-1918 和法國的柯西 1789-1857 及戴德金 1831-1916 等都對實數理論進行了研究，獲得了幾種形異而實同的實數理論，其中以戴德金分割法 1872 ；康托爾的有理數「基本序列」法 1872 為最有代表性。上述兩法與外爾斯特拉斯的實數理論合稱實數理論的三大派。
由極限理論可知，有極限的有理數列都應該是基本數列，例如若a為有理數，常數數列
a， a…， a，……
當然是基本數列，它的極限就是a本身。對2進行開平方，可依次得出一列有限小數
1，1.4，1.41，1.414，1.4142，……
也是一個基本數列，如果已經定義了實數的話，那麼它的極限應該是，但是在尚未引進無理數，而只有有理數的情況下，上述基本數列是沒有極限的。這就啟示我們，把每一個「基本數列」當做一種新的「數」來看待，即凡是收斂於有理數a的基本數列，把它看作有理數a，凡不能收斂於有理數的基本數列，就把它看做新的「數」——無理數。從而把基本數列的全體可當做一個「數集」，稱它為實數集
7樓：丁丁的叮叮車
基本概念 實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正實數，負實數和零三類。有理數可以分成整數和分數，而整數可以分為正整數、零和負整數。分數可以分為正分數和負分數。
無理數可以分為正無理數和負無理數。實數集合通常用字母 r 或 r^n 表示。而r^n 表示 n 維實數空間。
實數是不可數的。實數是實分析的核心研究物件。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是迴圈的，也可以是非迴圈的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數，包括整數）。
在計算機領域，由於計算機只能儲存有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。
8樓：燕子少兒
實數的定義是什麼，數學小知識
9樓：匿名使用者
這是初中的知識點。有理數和無理數統稱為實數。 有理數和無理數統稱為實數，這是中學的定義。至於實數的嚴格定義，有康托爾的基本列說，戴德金的分割
10樓：手機使用者
有理數和無理數。其中無理數就是無限不迴圈小數，有理數就包括整數和分數。實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。
本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。
什麼是實數,什麼是虛數???
11樓：景田不是百歲山
1、實數（real number）是有理數和無理數的總稱。
實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實
數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成複數。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母r表示。r表示n維實數空間。
實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究物件。
所有實數的集合則可稱為實數系（real number system）或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用r表示。
由於r是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。
2、虛數
虛數是指實數以外的複數，其中實部為0的虛數稱為純虛數。
在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i² = - 1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。
可以將虛數bi新增到實數a以形成形式a + bi的複數，其中實數a和b分別被稱為複數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何複數。
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實數的定義
穆子澈想我 實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成複數。實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 r 表...