1樓：匿名使用者
仁華學校1996～1997學年度第二學期期末考試五年級試題
【考生注意】
本試卷包括五道大題(15道小題)，滿分100分，考試時間150分鐘.
一、填空題i：(本題共有3道小題，每小題4分，滿分12分)
1.計算： × － × =____.
2.計算：0. 2345 +0. 3456 +…+0. l234 =______.
3.將數1×2×3×4×…×1997—5分別除以2，3，…，100，那麼所得的99個餘數的和是______.
二、填空題ii：(本題共有4道小題，每小題6分，滿分24分) .
4.100位男生與100位女生按男女交錯的方式站成一列，排頭是男生.從排頭開始1至3迴圈報數，凡是報到3的男生與報到2的女生站出來，按原來的先後順序排成一列.
不斷地對得到的新列重複上述報數和出列過程而再得到新列，那麼當再報數將無人出列時，佇列中有____位男生，_____位女生.
5.國王賞給3個宮廷巫師10只錢包，其中第1包是空的，第2包中有1枚金幣，第3包中有2枚金幣，……，第.10包中有9枚金幣.
巫師甲分走了2只錢包，其餘的錢包被乙、丙瓜分，乙所得的金幣比丙多，丙在路上被強盜搶走了4只錢包，只剩下10枚金幣，那麼甲分得的是第_____和第______只錢包.
6.圖5.1中除了每行兩端的數之外，其餘每個數都是與它相連的上一行的兩個數的平均數，例如2.75是2.5和3的平均數.那麼第100行中的各數之和是______.
第1第2
第3圖5-1
7.某裝訂車間的工人要將一批書打包後送往郵局，每包中所裝書的數目一樣多.第一次，他們領來這批書的 ，結果打了14個包還多35本.
第二次他們把剩下的書全部取來，連同第一次多的零頭一起，剛好又打了11包.那麼這批書共有______本.
三、填空題iii：(本題共有4道小題，每小題8分，滿分32分)
8.將1，2，3，4，5，6分別填在正方體的6個面上，計算具有公共稜的兩個面上的數的乘積，這樣的乘積共有12個，那麼它們的和最大是____.
9.如圖5—2所示，一條折線跑道由9條線段ab，bc，…，ij構成，各段的長度依次為900，800，…，100米.甲、乙兩人以相同的速度分別從a和j同時出發，沿跑道前進.
己知甲每轉一個彎速度加倍，而乙每轉一個彎速度減為原來的一半.那麼甲、乙兩人相遇在跑道的_____段(用字母表示)。cc
圖5-2
10.如圖5-3，等腰梯形abcd中ed垂直於ad，並交bc於g，ae平行於bd，∠dcb=45°，且三角形abd、三角形edc的面積分別為75，45，那麼三角形aed的面積是______.
11.一些三位數能表成兩個互為反序的三位數的和，例如444=123+321，則這樣的三位數共有_______個.
四、簡答題：(本題共有2道小題，滿分14分)
12.(本小題滿分6分)
試找出4個互不相同的分子均為2，分母均為整數的既約真分數，並把它們從小到大排成一列，使得其中任意相鄰兩數之差都相等.
13.(本小題滿分8分)
請將1，2，3，…，15分別填入如圖5-4所示的3×5方格表的各個方格內，使得每列中各數之和相等，且每行中各數之和也相等.
圖5-4
五、解答題：(本題共有2道小題，滿分18分)
14.(本小題滿分8分)
有兩面鍾，第一面鐘的分針轉一圈要比標準的鐘多用1分鐘，而第二面分針轉一圈則比標準的鐘少用1分鐘，在零點時兩鍾均根據標準時間校準，問經過多少小時後它們的分針同時指向半點(即指向時鐘標有「6」的刻度)?
解： .
15.(本小題滿分10分)
在由2個1，2個7，2個9組成的六位數中，有的數是121的倍數，並且去掉它的首尾兩個數碼以後，得到的那個四位數仍是11的倍數.試求出所有這樣的六位數.
解：試題解答
1 注意1×2×3÷4×…×1997能分別被2，3，…，100整除，因此1×2×3×4×…×1997—5除以2的餘數為2×3—5=1，除以3的餘數為3×2—5=1，除以4的餘數為4×2—5=3，除以5的餘數為0，除以6的餘數為6×1—5=1，除以7的餘數為7×1—5=2，……，除以100的餘數為loo×l—5=95，從而這99個餘數的和為1+1+3+0+1+2+…+95=5+(1+95)×95÷2=4565.
二、填空題ii：
4.1，1.
第1次報數的情況為：男(1)、女(2)、男(3)、女(1)、男(2)、女(3)，男(1)、女(2)、……，即報數以6個人為一週期，每個週期中的第1個女生和第2個男生出列.200÷6=33……2，前33個週期出列33×2=66人，又最後2人的報數情況為：
男(1)、女(2)，其中的女生要出列，因此第1次報數後共出列66+1=67人，新組成的列依然是男女交錯排列，但排頭是l女生.
第2次報數的情況為：女(1)、男(2)、女(3)、男(1)、女(2)、男(3)，女(1)、男(2)、……，依然是以6個人為一週期，每個週期中的第3個女生和第3個男生出列.67÷6=11.
……1，前11個週期共出列11×2=22人，而餘下的1名女生報1，不出列，故新列中共有22人，仍然為男女交錯排列，女生排頭.
以後的報數情況均與第2次類似.22÷6=3……4，餘下的那4人不出列，於是第3次組成的新列中有3×2=6人.這6人再報數一次，將僅剩下1名男生與1名女生，此即本題的答案.
注：每答對一空給3分.
5.6，8(或8，6).
丙被搶走的4只錢包中至少有0+l+2+3=6枚金幣，所以丙至少分得了6+10=16枚金幣.又乙所得的金幣比丙多，因此乙至少有16+1=17枚金幣.
丙被強盜搶走4只錢包，剩下的10枚金幣至少分放在2只錢包中，故丙至少分得4+2=6只錢包，而乙最多分得10—6—2=2只錢包，最多有8+9=17枚金幣.
由上述兩方面的分析可知，乙恰有17枚金幣，且分到的是第9，10只錢包..進而丙恰好有16枚金幣，他被搶走的錢包是第1，2，3，4只，分別放有0，1，2，3枚金幣.丙剩下的10枚金幣要放在2只錢包中，其中所放的金幣數只可能為4，5，6，7，而10=4+6，故丙分得的另2只錢包是第5，7只，分別放有4，6枚金幣.
這樣餘下的第6，8只錢包為甲所有，分別放有5，7枚金幣.
注：每答對一空給3分；如果答成5，7或7，5，給3分.
6.204.
觀察可知，第l行中各數之和為6，以後每行各數之和依次比前一行各數之和大2，所以第100行中各數之和為6+(100一1)×2=204.
事實上，將一行上每個圓圈中的數都分成相等的兩份分別移到下一行與其相連的兩個圓圈內後，依題設下一行中除兩端的圓圈外，其餘每個圓圈中所分得兩數的和即等於圓圈內所標的數值.在兩端移下的兩數分別為1÷2=0.5和3÷2=1.
5，而實際寫的數是1和3，故下一行中的各數之和確應比上一行大(1+3)一(0.5+1.5)=2.
7.1500.
整批書共打了14+11=25包，於是依題意第一次取來的書相當於整批書的 還多35本，而它又是整批書的 ，所以35本為整批書的 一 = ，進而這批書有35÷ =1500本.
三、填空題iii：
8.147.
正方體的每個面都與另4個面有公共稜，只和與它相對的面不相交.我們將題述的12個乘積與1～6這6個數中任取兩數相乘得到的6×5÷2=15個乘積相比較即知，缺少的15—12=3個乘積恰是正方體3組相對面上的兩數之積.全部15個乘積之和是定值，利用乘法對加法的分配律可計算出它為
[(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6) 一(1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×6)]÷2
=(21×21—91)÷2=175.
於是為使題述的乘積之和最大，需要正方體各對面上兩數的乘積相加儘可能小，亦即將1～6分成3對，兩兩相乘，使乘積之和最小.經計算，這個和最小是1×6+2×5+3×4=28，從而所求的最大值是175—28=147.
9.gh(或hg).
我們考慮甲在ab段上運動的這段時問.當乙首先由j點走到i點時，甲相應地走到距a點100米處.隨後乙的速度減半，甲保持原速，即甲的速度是乙的2倍.
當乙又走200米到達點h時，甲走到距a點100+200×2=500米處.接著乙的速度再減半，甲速度不變，於是甲的速度為乙的2×2=4倍.當甲再走900-500=400米到達點b時，乙在距離h點400+4=100米處.
此時甲轉第一個彎，其速度加倍，變為乙速度的4×2=8倍.假設爾後乙始終在gh段上運動，即速度保持不變，那麼按此試算，當甲走到點g時，乙走到距h點100+800÷8+700÷16+600÷32+500÷64+400÷128=273 米處.因為hg段長300米，所以確實乙還沒有走到點g，假設成立，從而甲、乙將相遇在gh段.
10 30.
如圖5-5，連線be，過a點作ah垂直bg於h.因為ae平行於bd，所以三角形abd和三角形ebd等底等高，面積相等，於是三角形ebd面積為三角形
圖5-5
edc面積的 = 倍.又南於這兩個三角形有公共的底邊ed，且高分別為bg和gc，因此線段bg的長是線段gc的喜倍.由abcd是等腰梯形， ∠dcb=45°可知，gc=dg=ah=hb，而線
段hg=bg-bh=bg-gc，所以線段hg的長是線段gc的 一1= .注意到三角形aed和三角形ced共底邊ed，相應的高分別為hg和gc，故三角形aed的面積是三角形ced面積的 ，為45× =30.
11.75.
在兩個互為反序的三位數中，一個數的百位數字為另一個數的個位數字，所以兩數的個位數字相加與兩數的百位數字相加得到相同的和.當這兩個三位數的和為三位數時，上述相同的和必小於等於9，於是此兩三位數相加時個位不向十位進位.
互為反序的三位數的十位數字相同，它們相加時可能會向百位進1，且和的十位數字必為偶數.如果沒有進位，那麼和的個位數字與百位數字相同，至少是1+1=2，最大為9，有8種情形；和的十位數字可取偶數0，2，4，6，8，有5種情形，故此時可得到8×5=40個不同的和.如果有進位，和的十位數字的取值仍有5種情形，但此時和的百位數字要比個位數字大1，』凶個位數字至少是1+1=2，故百位數字可取3～9，有7種情形，這時將出現5x7=35個不同的和.
綜上所述，本題的答案為40+35=75個.
注：如果答成35或40，給4分.
四、簡答題：
12.解：先構造出一個4項的由奇陣列成的等差整數列，然後同時除以它們的公倍數，形成分子為l的既約分數等差數列，再將各數乘以2即可滿足題設要求.
例如先寫出1，3，5，7，再除以這4個數的最小公倍數105，得 ， ， ， ,再乘以2得到 ， ， ， ，此即為一合理答案.
說明：本題答案不惟一.
13.解：這15個數的和為1+2+3+…+15=(1+15)×15÷2=120，所以行和為120÷3=40，列和為120÷5=24.
我們先構造一種列和相等的填法如圖5-6，此時僅有第二行的行和為40.然後交換部分列中第一行與第三行內的兩數，使另兩個行和也等於40，由此得到的填法見圖5-7.
說明：本題答案不惟一.
注：在8個行和與列和中，每有一個與解中所述的數值相符，給1分.
五、解答題：
14.解：第一面鐘的分針轉一圈要用60+1=61分鐘，第二面鐘的分針轉一圈要用60—1=59分鐘.
——2分
假設鐘面按通常的方式把一圈等分成60格，則快鍾和慢鐘的分針每分鐘分別走 和
格.兩分針的速度之差為 － = 格.
——4分
顯然為使快鍾和慢鍾同時指向半點，快鍾至少要比慢鍾多轉1圈，即60格，這需要時間60÷ = 分鐘.
——6分
在這段時間內，快鍾走了 ÷59=30.5圈，慢鍾走了 ÷6l=29.5圈，故兩鍾經過 ÷60=29 小時後確同時指向半點.
——8分
說明：本題也可通過不定方程來求解.設兩鐘的分針同時指向半點時，快鍾和慢鍾分別已轉了x整圈和y整圈，則有59×(x+0.
5)=61×（y+0.5）.變形得59x一61y=l，59(x-y)=2y+1.
於是2y＋1應為59的倍數，這樣y最小是(59—1)÷2=29，相應地x等於30，進而可求出答案.
15.解：對具有題述性質的六位數的各數位從首位開始依次編號為l，2，3，4，5，6.
南於一個數能被ll整除當且僅當其奇數位上的數字之和與其偶數位上的數字之和的差(大減小)能被ll整除，因此依題設知六位數中第1，3，5位數字之和與第2，4，6位數字之和的差是11的倍數，第3，5位數字之和與第2，4位數字之和的差也是ll的倍數.
——2分
比較上述兩結論即知六位數的第1位與第6位數字之差是ll的倍數，這說明此兩位數字必定相同.於是六位數的第2，3，4，5位數字由l，7，9中的某兩個數字各2個構成.注意2×(7一1)，2×(9—1)，2×(9—7)均不是ll的倍數，故第2，4位上是兩個不例的數字，第3，5位上也是那兩個不同的數字，這樣奇、偶位數字之和相同，兩者的差為0，確是11的倍數.
——4分
下面利用已經得出的六位數的結構分情況討論.
如果六位數的首位是l，那麼可能具有題述性質的候選數有177991，199771，17997l，197791.100001除以12l餘55.中間4個數碼在六位數中所表示的是在它們的末尾新增零而構成的五位數，這些五位數除以1 l的商分別是7090，9070，7270，8890.
商再除以11的餘數分別為6，6，10，2，即六位數的中間4個數碼對其除以121的餘數的貢獻分別是6×11=66，6×11=66，10×11=l10，2×11=22.注意66+55=121，故177991和199771為符合要求的數.
——6分
如果六位數的首位為7，那麼候選數有711997，799117，719917，791197.700007除以121的餘數為22.11990，99110，19910，91190除以1l的商依次是1090，9010，1810，8290，這些高除以11的餘數是l，l，6，7，它們與22+11=2的和均不為11的倍數，故此時無滿足題設要求的數.
——8分
當六位數的首位為9時，候選數是911779，977l 19，917719，971179.900009除以12l的餘數為11.11770，77110，17710，71170除以11的商依次是1070，7010，1610，6470，它們除以11的餘數依次為3，3，4，2，其中沒有數與1 1+11=1的和等於
ll，故此時亦無解.
——10分
綜上所述，本題的答案為177991和199771.
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