正態分佈的數學期望推導過程!希望拍照啊

時間 2021-09-08 15:26:05

1樓:假面

設正態分佈概率密度函式是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u,方差是t^2

於是:∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.(*)

(1)求均值

對(*)式兩邊對u求導:

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數,再兩邊同乘以1/(√2π)t得:

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開,再移項:

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u。

(2)方差

對(*)式兩邊對t求導:∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項:∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

2樓:孤獨的爆發

第三行是拆開以後第一項奇0得到的

3樓:聽說你很吊啊

大致過程就這樣,最後一步省略了

4樓:匿名使用者

第三行 σz 倍的 奇函式積分,因為後面是奇函式,概率期望=0,所以沒有了,只剩下一項。

5樓:匿名使用者

將括號,前面部分得到奇函式,積分等於零σ就不見了

正態分佈的數學期望推導過程最後一步 5

6樓:以何憶

我覺得把這個定積分看成標準正態分佈的概率密度就好了。對於概率密度fx有性質:積分正∞到負∞的值為1。所以結果就是u了。

7樓:罪龍

我的理解是:第二行到第三行是這樣的

8樓:什麼都不主動

樓上把他看做正態分佈挺好的,不過正態分佈的密度函式證明也要證明你這個問題,所以嚴格來說沒有解決這個問題。另一個回答是計算var的過程,並不是e。下面貼上我在《概率論基礎教程》一書中找到的證明過程:

9樓:匿名使用者

^f(z) =σz.e^(-z^2/2)

f(-z)= -f(z)

=> ∫(-∞->+∞) σz.e^(-z^2/2) dz =0

[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) e^(-z^2/2) dz =1

=>∫(-∞->+∞) e^(-z^2/2) dz = √(2π)

[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) (σz+μ) e^(-z^2/2) dz

=[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) σz.e^(-z^2/2) dz +[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) μ.e^(-z^2/2) dz

=[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) μ.e^(-z^2/2) dz=μ

推導對數正態分佈數學期望的積分過程

10樓:加百列

設正態分佈概率密度函式是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)],就是均值是u,方差是t^2。

於是:∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.(*)62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333431353964

積分割槽域是從負無窮到正無窮,下面出現的積分也都是這個區域。

(1)求均值

對(*)式兩邊對u求導:

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數,再兩邊同乘以1/(√2π)t得:

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開,再移項:

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u.

(2)方差

對(*)式兩邊對t求導:

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項:∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式,從而結論得證。

擴充套件資料:

二重積分的現實(物理)含義:面積 × 物理量 = 二重積分值。

舉例說明:二重積分的現實(物理)含義:

1、二重積分計算平面面積,即:面積 × 1 = 平面面積。

2、二重積分計算立體體積,即:底面積 × 高 = 立體體積。

3、二重積分計算平面薄皮質量,即:面積 × 面密度 = 平面薄皮質量。

二重積分的定義式:

其中***與yyy叫做積分變數,f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被積函式,dσd\sigmadσ叫做面積元素,ddd叫做積分割槽域。

11樓:匿名使用者

沒有太簡單的方法了

兩次換元法,可以化成概率積分的形式

這個積分的結果可以直接用

所以,也不算太麻煩

過程如下:

12樓:量綱學

利用矩母函式避免複雜積分

請問概率論中正態分佈的數學期望如何求出?其中有一步不太懂。。。希望大神指點

13樓:沉沒遊輪

標準正態分佈期望不是0嘛→_→

首先被積函式是個奇函式,積分割槽間又是對稱的,所以應該是0而不是其他的

正態分佈的數學期望

14樓:匿名使用者

^^e(x^來4)

=∫x^4*1/√(2π)e^(

自-x^2/2)dx 積分割槽間bai(-∞,du+∞)zhi

=2∫x^4*1/√(2π)e^(-x^2/2)dx 積分割槽間(0,+∞)

分步積分。dao

=-2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)+2/√(2π)∫3x^2*e^(-x^2/2)dx

=-2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)-2/√(2π)3x*e^(-x^2/2)

+2/√(2π)∫3*e^(-x^2/2)dx

積分割槽間(0,+∞)

1/√(2π)∫e^(-x^2/2)dx=1/2

2/√(2π)∫3*e^(-x^2/2)dx=3*2*1/2=3

而2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)-2/√(2π)3x*e^(-x^2/2)

=2x^3/√(2π)e^(x^2/2)-6x/√(2π)*e^(x^2/2)

利用羅必塔法則,

lim2x^3/√(2π)e^(x^2/2)-6x/√(2π)*e^(x^2/2)=0

所以e(x^4)=3

15樓:蛋庚飯飯

不知道哇!不蠻足線性!

直覺告訴我是0

16樓:匿名使用者

當n是奇數時,ex^n=0;

當n是偶數時,ex^n=&^n(n-1)!!

[&是標準差,(n-1)!!=(n-1)*(n-3)*(n-5)*……*3*1]

正態分佈數學期望 10

17樓:匿名使用者

原函式不是初等函式,不能直接積分,可作變數代換t=(√2)y,再利用下圖的結論寫出答案。

「數學期望」怎麼求,什麼是數學期望?如何計算?

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指數分佈隨機變數的數學期望怎麼求

雙清竹局汝 指數分佈的期望是固定的,若隨機變數x exp 即隨機變數服從引數為 的指數分佈,x的期望e x 1 毓金蘭六春 由於積分符號打不出來用 代替,u dv uv v du,這是分佈積分公式,你查一下就知道了,高數書上冊第四章第三節分部積分法裡有詳細解釋,順便感謝題主的 我的問題也解決了! 信...