1樓：匿名使用者
解：（甲數，乙數）=75=3×5×5，所以甲數和乙數中都含有1個3，2個5
甲數有12個約數，可能是12=3*4，質因數3和5中，一個含有2個，一個含有3個；
也可能是12=2×6，質因數3和5中，一個含有1個，一個含有5個；
乙數有10個約數，10=2×5，質因數3和5中，一個含有1個，一個含有4個，
已知乙數含有1個3，所以只能是含有4個5，即乙數=3×5^4=1875
所以甲數中只能含有2個5，3個3，
甲數=3^3×5^2=675
2樓：程龍
解：∵a只含有質因數3和5，且a有12個約數，而12＝(1＋1)×(5＋1)＝(2＋1)×(3＋1)∴a可以為：31×55，35×51，32×53，33×52又∵b只含有質因數3和5，且b有10個約數，而10＝(1＋1)×(4＋1)
∴b可以為：31×54，34×51
∵(a、b)＝75＝31×52
∴a＝33×52＝675， b＝31×54＝1875
a,b兩數都只含有質因數3和5,它們的最大公因數是75,已知數a有12個因數,數b有10個因
3樓：黯梅幽聞花
75=5*5*3
a數中也有這3個因數5 5 3其它還有9個因數
b數中也有這3個，其它還有7個
因為最大公因數是75
所以a剩下因數全為5或3，對應的b剩下因數全為3或5
一個數約數的個數=每個質因子指數+1後的乘積
a=5*5*3*5*5*5=9375 b的約數個數為10=2*5，則b=3*5*5*3^n,約數個數為（n+1+1）*(2+1)不可能等於10，捨去
a=5*5*3*3*3(約數個數為(3+1)(2+1)=12)=675
b=5*5*3*5*5（(約數個數為(4+1)(1+1)=10）=1875
符合條件
所以a、b的最小公倍數。。。。
75＝3×5×5＝(3^1)·(5^2)
兩數有且只有一個數含有因數5不超過2個，否則125是其公因數…………①
同理，可得：兩數有且只有一個數含有因數3不超過1個……………………②
①②不是同一個數，否則該數只有(2＋1)(1＋1)＝6個因數
a：12＝3×4＝2×6
b：10＝2×5且無因數3
即a符合條件①②，b符合條件②
∴滿足條件①的是a，滿足條件②的是b，則
a＝[5^(3－1)]·[3^(4－1)]＝(5^2)·(3^3)＝675
b＝[3^(2－1)]·[5^(5－1)]＝(3^1)·(5^4)＝1875
所以a、b的最小公倍數。。。。
注：x^y表示x的y次方。
另可參考
根據約數個數公式，本題中
z = 3^m *5^n，則約數個數 = (m+1)*(n+1)
按條件75 = 3*5*5
則對b，約數個數 = 10 = 2×5 = (1+1)*(4+1)
推得b = 3^1 * 5^4 = 1875
對a，至少含有1個因數3，至多含有2個因數5，則由
約數個數 = 12 = (2 + 1)*(3 + 1)
推得a = 5^2 *3^3 = 675
所以a、b的最小公倍數。。。。
關於約數個數公式，參考：
ab兩數都只含質因數3和5，它們的最大公約數是75，a有12個約數，b有10個約數，ab的和是多少？
4樓：匿名使用者
a = 3^x * 5 ^ y
b = 3^r * 5 ^ n
由a，b的約數個數得到等式:
(x+1)*(y+1)=12 ... 1)(r+1)*(n+1)=10 ... 2)由它們最大公約數為75=3^1 * 5^2得到:
3^(x-1)*5^(y-2) 與 3^(r-1)*5^(n-2) 互質
通過嘗試1)，可以看到a可能取值為:
3^1 * 5^5 ... a)
3^2 * 5^3 ... b)
通過嘗試2), 可以看到b的可能取值是:
3^1 * 5^4 ... c)
從而由上述條件，數字b) 和數字c)滿足ab需求，所以a = 3^2 * 5^3 b=3^1 * 5^4
求和即可。
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