因式法分解因式分解因式(x 2 x 3 x 4 x

時間 2022-02-03 08:20:08

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因式分解典型例題

例1 多項式x2+ax+b因式分解為(x+1)(x-2),求a+b的值.

分析 根據因式分解的概念可知因式分解是一種恆等變形,而恆等式中的對應項係數是相等的,從而可以求出a和b,於是問題便得到解決.

解 由題意得:x2+ax+b=(x+1)(x-2),所以

x2+ax+b=x2-x-2,

從而得出

a=-1,b=-2,

所以a+b=(-1)+(-2)=-3.

點評 「恆等式中的對應項係數相等」這一知識是求待定係數的一種重要方法.

例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab.

分析 此多項式的各項都有因式2ab,提取2ab即可.

解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1).

點評 用「提公因式法」分解因式,操作時應注意這樣幾個問題:首先,所提公因式應是各項係數的最大公約數與相同字母最低次冪的乘積,即提取的公因式應是多項式各項的最高公因式,否則達不到因式分解的要求;其次,用「提公因式法」分解因式,所得結果應是:最高公因式與原多項式各項分別除以最高公因式所得商式的乘積.如果原多項式中的某一項恰是最高公因式,則商式為1,這個1千萬不能丟掉.

本例題中,各項的公因式有2,a,b,2a,2b,ab,2ab等.其中2ab是它們的最高公因式,故提取2ab.作為因式分解後的一個因式,另一個因式則是分別用6a2b,4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代數和,其中-2ab÷2ab=-1,這個-1不能丟.

例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y.

分析 將-x-y變形為-(x+y),於是多項式中各項都有公因式x+y,提取x+y即可.

解 m(x+y)+n(x+y)-x-y

=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)

=(x+y)(m+n-1).

點評 注意添、去括號法則.

例4 因式分解64x6-1.

分析 64x6可變形為(8x3)2,或變形為(4x2)3,而1既可看作12,也可看作13,這樣,本題可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分解.

解 方法一

64x6-1=(8x3)2-1

=(8x3+1)(8x3-1)

=[(2x)3+1][(2x)3-1]

=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)

方法二64x6-1=(4x2)3-1

=(4x2-1)(16x4+4x2+1)

=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)

=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]

=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)

點評 在分解因式時,儘管採用的方法不同,但結果應是相同的.本題的兩種解法,顯然第一種方法比較簡單.

點評 分解因式時,應首先考慮各項有沒有公因式,如果有公因式,一定先提公因式,然後再考慮能否用其它方法繼續分解.本題如果先提2,應如何分解?

例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9.

分析 可將x+y當作一個整體,此多項式便是關於這個整體的二次三項式,顯然它可用完全平方公式分解.

解 (x+y)2-6(x+y)+9

=(x+y)2-2×3×(x+y)+32

=(x+y-3)2.

點評 在運用公式分解因式時,一定要掌握公式的特點,尤其要注意完全平方公式中一次項係數的特點.

例7 因式分解x2+6x-7.

分析 這個二次三項不符合完全平方公式的特點,首先,二次項與常數項不同號,其次,常數項的絕對值不是一次項係數一半的平方,所以不能直接用公式分解,但經過適當的變形後,便可用公式分解.另外,這樣的二次三項式可用十字相乘法分解.

解 方法一

x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16

=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)

方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)

點評 方法一叫配方法.用配方法分解二次三項式時,其前提是二次項係數為1(如果二次項係數不是1,則提取這個係數,使二次項係數轉化為1);其關鍵是,加上緊接著減去一次項係數絕對值一半的平方,這樣便達到配方的目的.在用十字相乘法分解二次三項式時,主要考慮的是十字相乘後的代數和應是一次項.

例8 因式分解3x2-7x-6.

分析 本題二次項係數不是1,如果用配方法分解,則應首先提取二次項係數3,然後再加、減一次項係數一半的平方;如果用十字相乘法分解,既要考慮好首尾兩項的分解,更要考慮到十字相乘後的代數和應是中間項(即一次項).

解 方法一

方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3).

點評 用十字相乘法分解因式,在排列算式時,應想到同行不應有公因式(如本題二次項所分出的3x與常數項所分出的3不能放在同行,只能與分解出的另一個因式2放在同行)這是因為,如果同行有公因式,此公因式在開始分解時就應提出.掌握這一點會簡化操作過程.從上述兩例可以明顯看出,在有理數範圍內分解二次三項式ax2+bx+c用十字相乘法比較方便,但隨著數的範圍的擴大,就看出配方法的重要了.於是便出現這樣的問題:在分解二次三項式ax2+bx+c時,何時用公式法?何時用十字相乘法?

何時用配方法?我們可用b2-4ac的結果來判別:

b2-4ac=0時,用完全平方公式分解;

b2-4ac>0且是一個完全平方數時,用十字相乘法分解;

b2-4ac>0但不是完全平方數時,用配方法分解;

b2-4ac<0時,在有理數範圍內和將來學到的實數範圍內都不能分解.

至於為什麼可用b2-4ac的結果來作上述判斷,這個問題在今後的學習中會得到解決.

例9 因式分解2ax-10ay+5by-bx.

分析 用分組分解法.可將

一、二兩項和

四、三兩項分別作為一組,這樣不僅每組可分解,而且確保繼續分解.

解 2ax-10ay+5by-bx

=2ax-10ay-bx+5by

=(2ax-10ay)-(bx-5by)

=2a(x-5y)-b(x-5y)

=(x-5y)(2a-b).

點評 本題還可以

一、四兩項一組,二、三兩項一組,但不能

一、三項和

二、四項分組,可見分組要恰當.分組是否恰當,以能否達到因式分解的目的為標準.所以,分組後各組係數成比例則是恰當分組的重要條件.

例10 因式分解:

(1)x2-2xy+y2-1 (2)x2-2y-y2-1

分析 這兩小題都不能平均分組,因為平均分組後,各組係數不可能成比例,從而達不到因式分解的目的,但經過觀察可知,如果將(1)題前三項和第四項分組,將(2)題第一項和後三項分組,則可先用完全平方公式繼而用平方差公式將其分解.

解 (1)x2-2xy+y2-1

=(x2-2xy+y2)-1

=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)

(2)x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1

=x2-(y2+2y+1)

=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)

點評 在分解四項式時,也應首先考慮是否有公因式,如果有,要先提公因式然後再考慮分組,在分組時,又有兩兩分組、一三分組和三一分組三種不同分法,這就需要做到具體問題具體分析.對某些特殊的四項式也可直接用完全立方公式分解,即a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3.對五項式或五項以上的多項式也採用分組分解法.

例11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y.

分析 本題的前三項可以分解為(x+y)(x+3y),其中(x+3y)正好與後兩項完全一樣,所以本題作三二分組,問題便得到解決.

解 x2+4xy+3y2+x+3y

=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)

=(x+y)(x+3y)+(x+3y)

=(x+3y)(x+y+1).

例12 因式分解:

(1)a2+2ab+b2+2a+2b+1,

(2)a2+2ab+b2+2a+2b-3,

(3)a2+3ab+2b2+2a+b-3.

分析 這三道題都不能平均分組,經觀察,它們都可以三二一分組,分組後,(1)題可經過兩次完全平方公式分解,(2)題可經過一次公式和一次十字相乘分解,而(3)題則可經過兩次十字相乘分解.

解 (1)a2+2ab+b2+2a+2b+1

=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1

=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.

(2)a2+2ab+b2+2a+2b-3

=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3

=(a+b)2+2(a+b)-3

=(a+b+3)(a+b-1).

(3)a2+3ab+2b2+2a+b-3

=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3

=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3

=(a+b-1)(a+2b+3).

例13 已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,求證:

2x2+3xy+y2-x-y=0

分析 要證明一個多項式的值為零,通常是將此多項式分解因式.若分解後的因式中有一個值為零,則原多項式的值為零.經過分組分解,可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1),若x+y或2x+y-1為零,則原多項式的值為零.為達此目的,就要從條件入手.

證明 因為4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以

(2x+y)2-2(2x+y)+1=0,

(2x+y-1)2=0.

所以2x+y-1=0.

又因為2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1).

而2x+y-1=0,

所以2x2+3xy+y2-x-y=0.

例14 已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成兩個一次因式的乘積,求m的值.並將此多項式分解因式.

分析 根據因式分解的概念和乘法法則可知,原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式,而原多項式的前三項可分解為(3x-7y)(x+y),於是可設原多項式分解為(3x-7y+a)(x+y+b),再根據恆等式中的對應項係數相等,便能使問題得到解決.

解 設3x2-4xy-7y2+13x-37y+m

=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]

=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab.

對應項係數相等,所以

由(1)(2)解得a=-2,b=5.將a=-2,b=5代入(3),得

m=-10.

所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m

=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10

=(3x-7y+a)(x+y+b)

=(3x-7y-2)(x+y+5).

例15 已知|x-3y-1|+x2+4y2=4xy,求x與y的值.

分析 在通常情況下,由一個方程求兩個未知數的值,條件是不夠的,但在特殊條件下又是可行的,這「特殊條件」包括非負數的和等於零的性質.本題已有一個明顯的非負數,即|x-3y-1|,而另一個非負數可由因式分解得到.於是問題能夠解決.

解 因為|x-3y-1|+x2+4y2=4xy,所以

|x-3y-1|+x2-4xy+4y2=0

即|x-3y-1|+(x-2y)2=0

所以解這個方程組,得

x=-2,y=-1.

例16 因式分解:

(1)x4+4y4; (2)x3+5x-6.

分析 這兩個多項式既無公因式可提,也不能直接用公式或直接分組分解.經過觀察:(1)題若加上4x2y2,隨之減去4x2y2,這樣既保證多項式的值不變,又可先用完全平方公式繼而用平方差公式分解.(2)題如果將5x拆成-x+6x便可分組分解.或者,將-6拆成-1-5也可分組分解.

解 (1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2

=(x2+2y2)2-(2xy)2

=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2).

(2)x3+5x-6=x3-x+6x-6

=(x3-x)+(6x-6)

=x(x+1)(x-1)+6(x-1)

=(x-1)(x2+x+6)

點評 若將-6拆成-1-5,應如何分解?

例17 已知x2-2xy-3y2=5,求整數x和y的值.

分析 原式左端可分解為兩個一次因式的乘積,由題意可知,這兩個因式都表示整數,這樣只能是一個因式為1(或-1),而另一個因式為5(或-5).於是便可列出方程組求出x和y的值.

解 因為x2-2xy-3y2=5,所以

(x-3y)(x+y)=5.

依題意x,y為整數,所以x-3y和x+y都是整數,於是有:

解上述方程組得:

例18 已知a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49(x為整數),求證:a為一個完全平方數.

證明 因為a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49

=(x2-x-6)(x2-x-20)+49

=(x2-x)2-26(x2-x)+169

=(x2-x-13)2

所以a是一個完全平方數.

這裡是些基本題

事實上我覺得因式分解什麼的最簡單了 你應該找點難的 學分式會有很大用的

x 6x 11x 6因式分解,因式分解 x 6x 11x

愛數學 可以看出x 2是方程x 6x 11x 6 0的一個根 所以x 6x 11x 6有一個因式 x 2 所以分解因式為 x 2 x 2 4x 3 x 2 x 1 x 3 原式 x 3 6x 2 5x 6x 6 x x 2 6x 5 6 x 1 x x 5 x 1 6 x 1 x 1 x x 5 6...

x 1 x 2 x 3 x 4 3因式分解

等待無過 x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 1 x 4 x 2 x 3 3 x的平方 5x 4 x的平方 5x 6 3 x的平方 5x 的平方 10 x的平方 5x 21 十字相乘 x的平方 5x 3 x的平方 5x 7 1357361586,你好 x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 1 ...

a b 3x 2 b a 3因式分解

義明智 a b 3x 2 b a 3 a b 3x 2 a b 3 a b 3 x 1 a b 3 x 1 x 1 您好,答題不易 如有幫助請採納,謝謝 把一個多項式在一個範圍 如有理數範圍內分解,即所有項均為有理數 化為幾個最簡整式的積的形式,這種變形叫做因式分解,也叫作分解因式。在數學求根作圖方...