1樓：位葉舞嶽青
你好！【參考資料：百科】
對數的概念：
如果b^nx，則記n=log(b)(x)。其中，b叫做「底數」，x叫做「真數」，n叫做「以b為底的x的對數」。
log(b)(x)函式中x的定義域是x>0，零和負數沒有對數；b的定義域是b>0且b≠1
對數的性質及推導
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數
*表示乘號，/表示除號
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
推導1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.mn=m*n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=a^[log(a)(m)]
*a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(mn)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(mn)
=log(a)(m)
+log(a)(n)
3.與2類似處理
mn=m/n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(m/n)]
=a^[log(a)(m)]
/a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(m/n)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(m/n)
=log(a)(m)
-log(a)(n)
4.與2類似處理
m^n=m^n
由基本性質1(換掉m)
a^[log(a)(m^n)]=^n
由指數的性質
a^[log(a)(m^n)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
其他性質：
性質一：換底公式
log(a)(n)=log(b)(n)
/log(b)(a)
推導如下n=
a^[log(a)(n)]a=
b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得n=
^[log(a)(n)]=b^
又因為n=b^[log(b)(n)]
所以b^[log(b)(n)]=b^
所以log(b)(n)
=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]
所以log(a)(n)=log(b)(n)
/log(b)(a)
性質二：（不知道什麼名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n)
/ln(b^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m)
=[n*ln(a)]
/[m*ln(b)]
=(m/n)*
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性質及推導完）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下:
由換底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b為底的對數,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
還可變形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
【希望可以幫到你】
2樓：曉澀
對數是一種計算方法，它最大的優越性就在於，應用對數，乘法和除法可以歸結為簡單的加法和減法運算。雖然我們現在所用的對數表是由蘇格蘭著名的數學家納皮爾發明的，但它應該追溯到2023年的丘凱和斯蒂費爾。
那時，人們對數，特別是一些大數的計算，感到非常的不便。2023年，丘凱和斯遇爾兩人潛心研究，想能不能找到一種比較簡便的方法，使大數計算起來更加方便呢，最後他們注意到了下面兩個數列的關係。
n0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
2 n1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,……
如果想求第二得任意兩個數的積，只要計算與這兩個數對應的第一行的數之各，就可從和數中找出對應的答數。若示主的是商，只要把上述的「和」改為「差」就行了。後來，斯蒂費爾把這種關係推廣到負指數和分數指數一來。
後來英格蘭數學家納皮爾致力於研究球面三角和除法運算。隨著三角學的迅速發展，各種三角函式表大量出現，這是他發明對數的直接原因。因為當時還沒有十進位小數的運算，要對天文學、航海竺方面進行研究，就必須製表，而人們只有用愈來愈加大圓半徑的辦法，來滿足製表的要求。
因此當務之急就是找到簡單有效的編表計算方法。
納皮爾最初的目的是想簡化一些角運算。當他見到丘凱和斯蒂費爾的研究成果時，他茅塞頓開。他的思路是沿著公式
sina·sinb=/2
而來的。他在對數的理論上面至少花費了20年。
考慮線段ab和無窮射線de，令點c和f同時分別從a和d，沿著這兩條線，以同樣的初速度開始移動，假定c總是以數值等於距離cb的速度移動，而f以勻速移動，於是，納皮爾定義df為cb的對數。也就是說，設df＝x和cb＝y，
x＝naplogy
為了避免出現分數的麻煩，納皮爾取ab的長為10 7，因為當時最好的正表有七位數字。在納皮爾那裡，沒有底的概念。他從連續的幾何量出發，得到了幾何級數與算術級數的比較表。
2023年，納皮爾發表了《奇妙的對數定理說明書》，在這本書中，發表了他關於對數的講座。這書一發表就引起人們的廣泛興趣。後來他和布里格斯把對數做了改時，使得1的對數為0，10的對數為10的適當次冪，這樣造出來的對數表更為有用。
於是就有了我們今天的常用對數，為了紀念布里格斯，人們又把它稱為布里格斯對數。這種對數實質上是以10為底數的，這樣在數值計算上具有優越的效用。
2023年，布里格斯發表了他的《對數算術》，這是一本對數表，它包括從1到20000和90000到100000的14位常用對數表，後來在出版商的幫助下，又把從20000到90000的其他數補了上來。2023年，布里格斯的一位同事岡特發表了角的正弦和正切的常用對數表，直到20世紀三四十年代才被英國算出的20位對數表所代替。
logarithm(對數）這個詞產意思是「比數」。納皮爾最初並沒有用這個詞，而用的是artificialnumber(人造數），後來才使用對數這一詞。到了布里格斯手裡，又引進了mantissa這個詞，它的意思為「附加」或「補缺」，到了16世紀對數這個術語由布里格斯提出來。
納皮爾對數及布里格斯的對數表的發明，很快得到了人們的認可，尤其是天文學界，他們認為對數的發明延長了天文學者的壽命。伽利略甚至說，給他空間、時間及對數，他就可以創造一個宇宙。
關於對數的發明，我們還應該提起另一個人，他就是瑞士儀器製造者比爾吉。比爾吉是天文學家開普勒的助手。他根據斯蒂費爾的發現，整整用了8年時間，造成了一張反對數表。
於2023年發表，比納皮爾晚6年。
納皮爾和比爾吉兩人都致力於對數的研究，只不過納皮爾用的是幾何方法，比爾吉用的是代數法。現在，對數普遍被認為是指數。例如，如果n=b x，我們就可以說x是n的以b為底的對數。
從這一定義出發，對數定律直接來自指數定律。對數的建立早於指數的建立，在數學史上成了一件珍聞。
以上談的都是以10為底的對數，除此之外還有自然對數，這個名字是2023年倫敦的數學家司皮得爾在《新數學》裡出現的。
我們知道，一般對數的底可以為任意不等於1的正數。即對數的底如果為超越數e(e=2.718)我們就把這樣的對數叫作自然對數，用符號「ln」表示。
在這裡「1」是對數「logarithm"的第一個字母，「n」是自然「nature"的第一個字母，把兩個字母合在一起，就表示自然對數。
自然對數的出現，給數學界帶來了一場革命。
3樓：鐸瑩玉弘珏
如果a^b=n，那麼log(a)(n)=b。其中，a叫做「底數」，n叫做「真數」，b叫做「以a為底的n的對數」。
對數函式的圖形是相應的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。
（1）對數函式的定義域為大於0的實數集合。
（2）對數函式的值域為全部實數集合。
（3）函式總是通過（1，0）這點。
（4）a大於1時，為單調遞增函式，並且上凸；a小於1大於0時，函式為單調遞減函式，並且下凹。
（5）顯然對數函式無界。
對數函式的運算性質：
如果a〉0，且a不等於1,m>0,n>0，那麼：
（1）log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
（2）log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);
（3）log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
（n屬於r）
4樓：豐曉昕秋笛
而兩個同底對數相乘，一般就算最簡形式了。
[log(2)(3)]^2就是[log(2)(3)]^2，沒有什麼含義，最多用換底公式化成
(lg3)^2
/(lg2)^2.
5樓：奇銘莊武
如果a的x次方等於n（a>0，且a不等於1），那麼數x叫做以a為底n的對數（logarithm），記作x=log
an。其中，a叫做對數的底數，n叫做真數，x叫做「以a為底n的對數」。
6樓：張茗褒夢菲
對數的概念：
如果a^b＝n（a＞0，a≠1），那麼數b叫做以a為底n的對數，記作logan＝b，其中a叫做底數，n叫做真數。負數和零沒有對數。
(a^b就是a的b次方)
7樓：
對數普遍被認為是指數。例如，如果n=b x，我們就可以說x是n的以b為底的對數。
8樓：不受反擊
課本上不是有嗎？
如果a的b次方等於n的話，那麼b就叫做（以a為底）n的對數
這裡a>0且不等於1
9樓：樓磬將流婉
帶詩情畫意的數是對數。
10樓：竺樂蓉耿樺
對數的定義：
1.如果
a^x=n（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底n的對數（logarithm），記作
x=logan
.其中，a叫做對數的底數，n叫做真數。且a>o，a≠1，n>0
2.特別地，我們稱以10為底的對數叫做常用對數（common
logarithm），並把log10n
記為lgn.
3.稱以無理數e（e=2.71828...）為底的對數稱為自然對數（natural
logarithm），並把logen
記為lnn.
零沒有對數.[1]在實數範圍內，負數無對數。在複數範圍內，負數有對數。
如：㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.
而事實上，當θ=(2k+1)π時(k∈z），e^[(2k+1)πi]+1=0，這樣，㏑(-1)的具有週期性的多個值，㏑(-1)=(2k+1)πi。這樣，任意一個負數的自然對數都具有週期性的多個值。
例如：㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。
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