1樓：孔的咪
最常用的是極限審斂原則：1.存在p＞1，使得lim（x→無窮）（（x∧p)*f（x））存在時，反常積分∫（a→無窮）f（x）dx收斂；若lim（x→無窮）xf（x）＝d＞0（或無窮）時，積分發散。
2.存在0＜q＜1，使得lim（x→a）（（x∧q)*f（x））存在，則反常積分∫（a→b）f（x）dx收斂，若lim（x→a）xf（x）＝d＞0（或為無窮），則積分發散。
基本就是這樣，你可以帶進去自己算一下
2樓：匿名使用者
(a) ∫<-∞, -1> dx/x^(1/3) = (3/2)[x^(2/3)] <-∞, -1> = -∞, 發散；
(b) ∫<1, +∞> dx/x^4 = (-1/3)[1/x^3]<1, +∞> = 1/3, 收斂；
(c) ∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^2] = ∫<2, +∞> dlnx/(lnx)^2= - [1/lnx]<2, +∞> = 1/ln2, 收斂；
(d) ∫<0, 1> xdx/√(1-x^2) = (-1/2)∫<0, 1> d(1-x^2)x/√(1-x^2)
= - [√(1-x^2)]<0, 1> = 1, 收斂；
(e) ∫<1, 2> xdx/√(x-1) = 2∫<1, 2> xd√(x-1)
= 2[x√(x-1)]<1, 2> - 2∫<1, 2>√(x-1)dx
= 4 - 2[(2/3)(x-1)^(3/2)]<1, 2> = 4 - 4/3 = 8/3, 收斂；
(f) ∫<0, 2> dx/(x-1)^2 = ∫<0, 1> dx/(x-1)^2 + ∫<1, 2> dx/(x-1)^2
= - [1/(x-1)]<0, 1> - [1/(x-1)]<1, 2> ， 發散。
如何判斷反常積分的收斂性
3樓：
判斷反常積分的收斂性有比較判別法、cauchy判別法、dirichlet判別法。
1、比較判別法
2、cauchy判別法
3、dirichlet判別法
4樓：萊特資訊科技****
(a) ∫<-∞, -1> dx/x^(1/3) = (3/2)[x^(2/3)] <-∞, -1> = -∞, 發散；
(b) ∫<1, +∞> dx/x^4 = (-1/3)[1/x^3]<1, +∞> = 1/3, 收斂；
(c) ∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^2] = ∫<2, +∞> dlnx/(lnx)^2= - [1/lnx]<2, +∞> = 1/ln2, 收斂；
(d) ∫<0, 1> xdx/√(1-x^2) = (-1/2)∫<0, 1> d(1-x^2)x/√(1-x^2)
= - [√(1-x^2)]<0, 1> = 1, 收斂；
(e) ∫<1, 2> xdx/√(x-1) = 2∫<1, 2> xd√(x-1)
= 2[x√(x-1)]<1, 2> - 2∫<1, 2>√(x-1)dx
= 4 - 2[(2/3)(x-1)^(3/2)]<1, 2> = 4 - 4/3 = 8/3, 收斂；
(f) ∫<0, 2> dx/(x-1)^2 = ∫<0, 1> dx/(x-1)^2 + ∫<1, 2> dx/(x-1)^2
= - [1/(x-1)]<0, 1> - [1/(x-1)]<1, 2> ， 發散。
反常積分斂散性判別
5樓：我想該睡
反常積分的斂散判斷本質上是極限的存在性與無窮小或無窮大的比階問題。首先要記住兩類反常積分的收斂尺度：對第一類無窮限而言，當x→+∞時，f(x)必為無窮小，並且無窮小的階次不能低於某一尺度，才能保證收斂；對第二類無界函式而言，當x→a+時，f(x)必為無窮大。
反常積分又叫廣義積分，是對普通定積分的推廣，指含有無窮上限/下限，或者被積函式含有瑕點的積分，前者稱為無窮限廣義積分，後者稱為瑕積分（又稱無界函式的反常積分）。
6樓：匿名使用者
需要說明的是 題主所給的兩個積分都是反常積分並且需要考慮兩個部分：
在1附近的鄰域中 被積函式會趨向於+∞
積分上限是+∞，因此積分割槽間無界
我們把每個函式都分成兩部分來積：
其中5這個數字是我隨便取的
根據一開始的積分公式
對於第一個函式：第一個極限顯然是有界的，但第二個極限無界對於第二個函式：第一個極限有界，第二個極限也有界所以綜合來看第一個發散，第二個收斂
才有了收斂與發散的區別
7樓：
要判斷無窮積分∫(-∞,+∞)f(x)dx的斂散性
首先應該任取定a∈(-∞,+∞)
然後討論：
∫(-∞,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx
二者的斂散性
在這個時候要特別注意：
∫(-∞,a)f(x)dx=lim (u→ -∞)∫(u,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx=lim (t→ +∞)∫(a,t)f(x)dx
在取極限的時候，二者不能用同一個指標（一定要分開，用兩個指標u,t）
為什麼要這樣做？？？
先看定義：
設函式f在r的任一子區間上可積，取a∈(-∞,+∞)，若 ∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 都收斂，
則稱∫(-∞,+∞)f(x)dx收斂且：∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,a)f(x)dx + ∫(a,+∞)f(x)dx
從定義中可以看到：∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 二者並無絕對的聯絡
可說二者互不干涉，因此對指標的選定一定要作出區分！！！
所以題目中用同一個r來做指標是不對的
從另一個角度來看
上述定義中說到：函式f在r的任一子區間上可積
而我們用同一指標根本不能滿足定義所說的任一子區間
既然連定義的條件都不能滿足，更不要說收斂了~~
有不懂歡迎追問
關於反常積分的收斂發散的判斷，答案是不是有問題啊...怪怪的
8樓：尹六六老師
一、極限為0，說明x充分接近0時，f(x)/x^(1/n)<1即f(x)＜x^(1/n)根據比較審斂法，即可二、證明確實有錯，n=1時確實需要討論這時比較簡單，容易證明收斂。
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