1樓：電燈劍客
這個問題一般來講是用特徵值或者sherman-morrison公式來做的，如果你一定需要householder矩陣，那麼這樣做：
取householder陣h使得hx//e1，即hx=ke1，其中e1是單位陣的第一列。那麼
det(i+xy')=det(h(i+xy')h)=det(i+ke1*y'h)，
如果記z=hy，注意到ke1*z'是非零元只在第一行出現的矩陣，所以i+ke1*z'是上三角陣，det(i+ke1*y'h)=1+k*z(1)，其中z(1)是z的第1個分量，利用z(1)=e1'z即得結論。
2樓：匿名使用者
首先考察矩陣a=x*y^t
r(a)<=r(x)=1
這個矩陣的n個特徵值中，必定是n-1個0，和一個。
如果x,y的內積為0，即=0，則a的特徵值為全0，如果x,y的內積不為0，即不等於0，則a的特徵值為（n-1）個0和一個非零數
不管是哪種情況，a的特徵值都能記為：0,0,...,0,所以i+a的特徵值是：
1,1,...,1,1+det(i+a)就是特徵值的乘積=1*1*...*1*(1+)=1+=1+(x^t*y)
證明 :每個n階正交矩陣都可以表示成一系householder矩陣的乘積 5
3樓：明哥歸來
要求是標準正交基下的矩陣
實正交矩陣按行列式可分為兩類
對於2階實正交陣，行列式為1的表示旋轉，行列式為-1的表示反射對於n階的正交陣（對應於高維歐氏空間的正交變換），狹義地講旋轉變換（也叫平面旋轉變換，或者givens變換）是有n-2個特徵值為1，餘下兩個特徵值在單位圓周上按λ,1/λ成對出現的正交變換
映象變換（也叫householder變換）是有n-1個特徵值為1，餘下一個特徵值為-1的正交變換
廣義一點可以把行列式為1的都認為是旋轉（因為是有限個平面旋轉的乘積），行列式為-1的認為是反射（不能表示成有限個平面旋轉的乘積，必須要再作用奇數次映象變換）
如何用householder變換求矩陣的qr分解 例子
4樓：匿名使用者
||[householder陣]
（1） 設a rn， = ||a||2，通常取 與a1同號，記h=i-2vvt，（v= ）,
則ha= - e1. h=i -2vvt稱為householder陣。
（2） 更一般地，對a=(a1,a2,…am,am+1,…,an)t,記 = ，可求出h，使
ha=(a1,a2,…am, ,0,…,0)t。
為此，先在rn-m中求 使 滿足
=(am+1,…,an)t=(- ,0,…,0,0)t，
再作h= ,則ha= (a1,a2,…am,am+1,…,an)t =( a1,a2,…am,- ,0,…,0,0)t
[用householder方法求矩陣的qr分解]
記a=(aij)n*n，由1可知，存在h1=i -2v1v1t，使
h1(a11,a21,…,an1)t=(a11(1),0,…,0)t,
於是 h1a=
又由1知，存在h2= ,使 ，於是
h1a= =
類似地依次進行n-1次，得出
hn-1hn-2…h1a= 。
記r=hn-1hn-2…h1a，q=hnhn-1…h1,得a=q*r
如何用householder變換求hessenberg矩陣
5樓：q我
[householder陣]
（1） 設a rn， = ||a||2，通常取 與a1同號，記h=i-2vvt，（v= ）,
則ha= - e1. h=i -2vvt稱為householder陣。
（2） 更一般地，對a=(a1,a2,…am,am+1,…,an)t,記 = ，可求出h，使
ha=(a1,a2,…am, ,0,…,0)t。
為此，先在rn-m中求 使 滿足
=(am+1,…,an)t=(- ,0,…,0,0)t，
再作h= ,則ha= (a1,a2,…am,am+1,…,an)t =( a1,a2,…am,- ,0,…,0,0)t
[用householder方法求矩陣的qr分解]
6樓：深圳華邦瀛
你描述的我根本不明白你在說什麼 你遇到什麼問題？想達到什麼功能？
用householder怎樣將實對稱矩陣轉化為三對角矩陣 例項
7樓：
//約化對稱矩陣為三對角對稱矩陣
//利用householder變換將n階實對稱矩陣約化為對稱三對角矩陣
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實對稱矩陣
//n-矩陣的階數
//q-長度為n*n的陣列，返回時存放householder變換矩陣
//b-長度為n的陣列，返回時存放三對角陣的主對角線元素
//c-長度為n的陣列，返回時前n-1個元素存放次對角線元素
void eastrq(double a,int n,double q,double b,double c);
//求實對稱三對角對稱矩陣的全部特徵值及特徵向量
//利用變型qr方法計算實對稱三對角矩陣全部特徵值及特徵向量
//n-矩陣的階數
//b-長度為n的陣列，返回時存放三對角陣的主對角線元素
//c-長度為n的陣列，返回時前n-1個元素存放次對角線元素
//q-長度為n*n的陣列，若存放單位矩陣，則返回實對稱三對角矩陣的特徵向量組
// 若存放householder變換矩陣，則返回實對稱矩陣a的特徵向量組
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實對稱矩陣
int ebstq(int n,double b,double c,double q,double eps,int l);
//約化實矩陣為赫申伯格(hessen berg)矩陣
//利用初等相似變換將n階實矩陣約化為上h矩陣
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實矩陣,返回時存放上h矩陣
//n-矩陣的階數
void echbg(double a,int n);
//求赫申伯格(hessen berg)矩陣的全部特徵值
//返回值小於0表示超過迭代jt次仍未達到精度要求
//返回值大於0表示正常返回
//利用帶原點位移的雙重步qr方法求上h矩陣的全部特徵值
//a-長度為n*n的陣列，存放上h矩陣
//n-矩陣的階數
//u-長度為n的陣列，返回n個特徵值的實部
//v-長度為n的陣列，返回n個特徵值的虛部
//eps-控制精度要求
//jt-整型變數，控制最大迭代次數
int edqr(double a,int n,double u,double v,double eps,int jt);
//求實對稱矩陣的特徵值及特徵向量的雅格比法
//利用雅格比(jacobi)方法求實對稱矩陣的全部特徵值及特徵向量
//返回值小於0表示超過迭代jt次仍未達到精度要求
//返回值大於0表示正常返回
//a-長度為n*n的陣列，存放實對稱矩陣，返回時對角線存放n個特徵值
//n-矩陣的階數
//u-長度為n*n的陣列，返回特徵向量(按列儲存)
//eps-控制精度要求
//jt-整型變數，控制最大迭代次數
int eejcb(double a,int n,double v,double eps,int jt);
選自《徐世良數值計算程式集(c)>>
每個程式都加上了適當地註釋，陸陸續續幹了幾個月才整理出來的啊。
今天都給貼出來了
#include "stdio.h"
#include "math.h"
//約化對稱矩陣為三對角對稱矩陣
//利用householder變換將n階實對稱矩陣約化為對稱三對角矩陣
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實對稱矩陣
//n-矩陣的階數
//q-長度為n*n的陣列，返回時存放householder變換矩陣
//b-長度為n的陣列，返回時存放三對角陣的主對角線元素
//c-長度為n的陣列，返回時前n-1個元素存放次對角線元素
void eastrq(double a,int n,double q,double b,double c) }
for (i=n-1; i>=1; i--) }
if (h+1.0==1.0)
b[i]=0.0;
} else
h=h-q[u]*c[i-1];
q[u]=q[u]-c[i-1];
f=0.0;
for (j=0; j<=i-1; j++)
if (j+1<=i-1) }
c[j-1]=g/h;
f=f+g*q[j*n+i];
} h2=f/(h+h);
for (j=0; j<=i-1; j++) }
b[i]=h;
} }b[0]=0.0;
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (k=0; k<=i-1; k++) }
} u=i*n+i;
b[i]=q[u];
q[u]=1.0;
if (i-1>=0) }
} return;
//求實對稱三對角對稱矩陣的全部特徵值及特徵向量
//利用變型qr方法計算實對稱三對角矩陣全部特徵值及特徵向量
//n-矩陣的階數
//b-長度為n的陣列，返回時存放三對角陣的主對角線元素
//c-長度為n的陣列，返回時前n-1個元素存放次對角線元素
//q-長度為n*n的陣列，若存放單位矩陣，則返回實對稱三對角矩陣的特徵向量組
// 若存放householder變換矩陣，則返回實對稱矩陣a的特徵向量組
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實對稱矩陣
int ebstq(int n,double b,double c,double q,double eps,int l)
m=j;
while ((m<=n-1)(fabs(c[m])>d))
if (m!=j)
it=it+1;
g=b[j];
p=(b[j+1]-g)/(2.0*c[j]);
r=sqrt(p*p+1.0);
if (p>=0.0)
else
h=g-b[j];
for (i=j+1; i<=n-1; i++)
f=f+h;
p=b[m];
e=1.0;
s=0.0;
for (i=m-1; i>=j; i--)
else
p=e*b[i]-s*g;
b[i+1]=h+s*(e*g+s*b[i]);
for (k=0; k<=n-1; k++) }
c[j]=s*p;
b[j]=e*p;
} while (fabs(c[j])>d);
} b[j]=b[j]+f;
} for (i=0; i<=n-1; i++) }
if (k!=i) }
} return(1);
} //約化實矩陣為赫申伯格(hessen berg)矩陣
//利用初等相似變換將n階實矩陣約化為上h矩陣
//a-長度為n*n的陣列，存放n階實矩陣,返回時存放上h矩陣
//n-矩陣的階數
void echbg(double a,int n) }
if (fabs(d)+1.0!=1.0)
for (j=0; j<=n-1; j++) }
for (i=k+1; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++) }
} }return;
} //求赫申伯格(hessen berg)矩陣的全部特徵值
//利用帶原點位移的雙重步qr方法求上h矩陣的全部特徵值
//返回值小於0表示超過迭代jt次仍未達到精度要求
//返回值大於0表示正常返回
//a-長度為n*n的陣列，存放上h矩陣
//n-矩陣的階數
//u-長度為n的陣列，返回n個特徵值的實部
//v-長度為n的陣列，返回n個特徵值的虛部
//eps-控制精度要求
//jt-整型變數，控制最大迭代次數
int edqr(double a,int n,double u,double v,double eps,int jt)
ii=(m-1)*n+m-1;
jj=(m-1)*n+m-2;
kk=(m-2)*n+m-1;
ll=(m-2)*n+m-2;
if (l==m-1)
else if (l==m-2)
u[m-1]=(-b-xy*y)/2.0;
u[m-2]=c/u[m-1];
v[m-1]=0.0; v[m-2]=0.0;
} else
m=m-2;
it=0;
} else
it=it+1;
for (j=l+2; j<=m-1; j++)
for (j=l+3; j<=m-1; j++)
for (k=l; k<=m-2; k++) }
else
if ((fabs(p)+fabs(q)+fabs(r))!=0.0)
s=xy*sqrt(p*p+q*q+r*r);
if (k!=l)
e=-q/s;
f=-r/s;
x=-p/s;
y=-x-f*r/(p+s);
g=e*r/(p+s);
z=-x-e*q/(p+s);
for (j=k; j<=m-1; j++)
a[jj]=q;
a[ii]=p;
} j=k+3;
if (j>=m-1)
for (i=l; i<=j; i++)
a[jj]=q;
a[ii]=p;
} }} }} return(1);
} //求實對稱矩陣的特徵值及特徵向量的雅格比法
//利用雅格比(jacobi)方法求實對稱矩陣的全部特徵值及特徵向量
//返回值小於0表示超過迭代jt次仍未達到精度要求
//返回值大於0表示正常返回
//a-長度為n*n的陣列，存放實對稱矩陣，返回時對角線存放n個特徵值
//n-矩陣的階數
//u-長度為n*n的陣列，返回特徵向量(按列儲存)
//eps-控制精度要求
//jt-整型變數，控制最大迭代次數
int eejcb(double a,int n,double v,double eps,int jt) }
} while (1==1) }
} if (fmjt)
l=l+1;
u=p*n+q;
w=p*n+p;
t=q*n+p;
s=q*n+q;
x=-a[u];
y=(a[s]-a[w])/2.0;
omega=x/sqrt(x*x+y*y);
if (y<0.0)
sn=1.0+sqrt(1.0-omega*omega);
sn=omega/sqrt(2.0*sn);
cn=sqrt(1.0-sn*sn);
fm=a[w];
a[w]=fm*cn*cn+a[s]*sn*sn+a[u]*omega;
a[s]=fm*sn*sn+a[s]*cn*cn-a[u]*omega;
a[u]=0.0;
a[t]=0.0;
for (j=0; j<=n-1; j++) }
for (i=0; i<=n-1; i++) }
for (i=0; i<=n-1; i++) }
return(1);}
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