1樓：兔老大米奇
正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。
對於3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。
所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3d座標系裡的三個座標軸，下面是3＊3正交矩陣m，
x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸
單位矩陣表示的三個座標軸就是笛卡爾座標系裡的x，y，z軸：
1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，1，／／z軸
一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前座標系變換到這個矩陣所表示的座標系裡，比如下面的矩陣m1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一個向量（1，2，3）右乘這個矩陣m1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原座標系變換到一個新的座標系。
新座標系的x軸在原座標系裡是（0，1，0），即落在原座標系的y軸上，
新座標系就是把原座標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣m1作用於向量（1，2，3）後把向量的x和y分量對調了。
正交矩陣的定義「行向量和列向量皆為正交的單位向量」帶來了另一個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。
下面解釋一下為什麼正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆：
還是開頭說的正交矩陣m：
x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz
每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結果為1。
任意兩行正交就是兩行點乘結果為0。
矩陣m的轉置矩陣mt是：
x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，
兩個矩陣相乘mmul＝m＊mt：
rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，
點乘自己結果為1，點乘別的行結果為0，所以mmul等於單位矩陣
1，0，0，0，1，0，0，0，1，
逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等於單位矩陣，所以，
正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆。
擴充套件資料
正交矩陣定義：
如果：aa＇＝e（e為單位矩陣，a＇表示「矩陣a的轉置矩陣」．）或a′a＝e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣，若a為單位正交陣，則滿足以下條件：1）a是正交矩陣。
判斷是正交矩陣的方法：
一般就是用定義來驗證，若aa' = i,則a為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內積是否為0。
2樓：惲海冬
正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。
儘管在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
正交矩陣定義：
如果：aa＇＝e（e為單位矩陣，a＇表示「矩陣a的轉置矩陣」．）或a′a＝e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣，若a為單位正交陣，則滿足以下條件：1）a是正交矩陣。
判斷是正交矩陣的方法：
一般就是用定義來驗證，若aa' = i,則a為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內積是否為0。
3樓：假面
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
矩陣性質：
實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。假設帶有正交(非正交規範)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是mm=d，d是對角矩陣。
任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
4樓：匿名使用者
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣， 若a為正交陣，則滿足以下條件:
1) at是正交矩陣
2)（e為單位矩陣）
3) a的各行是單位向量且兩兩正交
4) a的各列是單位向量且兩兩正交
5) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
6) |a| = 1或-1
正交矩陣通常用字母q表示。
舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質
5樓：匿名使用者
定義 1
n階實矩陣 a稱為正交矩陣，如果：a×a′=i則下列諸條件是等價的:
1) a 是正交矩陣
2) a×a′=i 為單位矩陣
3) a′是正交矩陣
4) a的各行是單位向量且兩兩正交
5) a的各列是單位向量且兩兩正交
6) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質以上定義中的a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。
6樓：倪榮庫蘭澤
a乘以a的專置＝＝e，a就是正交矩陣
矩陣相互正交是什麼意思？
7樓：你的合夥人
矩陣相互正交是兩個向量正交，兩個向量正交是指它們的內積等於零，兩個向量的內積是它們對應分量的乘積之和。
在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那麼就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。
若向量α與β正交，則記為α⊥β。
擴充套件資料因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設定座標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
8樓：樸海鎮的嬌妻
a是一個n階方陣，a'是a的轉置，如果有 a'a=e (單位陣)，即a'=a逆，我們就說a是正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。
定義如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣， 若a為正交陣，則滿足以下條件:
1) at是正交矩陣
2) （e為單位矩陣）
3) a的各行是單位向量且兩兩正交
4) a的各列是單位向量且兩兩正交
5) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
6) |a| = 1或-1
正交矩陣通常用字母q表示。
舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質
定理1. 方陣a正交的充要條件是a的行（列) 向量組是單位正交向量組；
2. 方陣a正交的充要條件是a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3. a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4. a的列向量組也是正交單位向量組。
5. 正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣q，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為 +1，則我們稱之為特殊正交矩陣
9樓：微言悚聽
應該是兩個向量正交
兩個向量正交是指它們的內積等於零.
兩個向量的內積是它們對應分量的乘積之和
什麼是正定矩陣，正交矩陣
10樓：不是苦瓜是什麼
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
正交矩陣不一定是正定矩陣
舉反例：
a=-e，是正交矩陣，但不是正定矩陣。
正定矩陣也不一定是正交矩陣。
矩陣正定的前提是對稱陣，而正交矩陣不一定是對稱陣。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考《矩陣理論》。
在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
給定矩陣，怎麼判斷是正交矩陣，有什麼計算方法
是你找到了我 如果 aa e e為單位矩陣，a 表示 矩陣a的轉置矩陣 或a a e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣，演算法 可以算是矩陣a的轉置矩陣，接著將矩陣a乘以轉置矩陣，若得到的是單位陣，則矩陣a是正交矩陣，若得到的不是單位陣，則矩陣a不是正交矩陣。若a為正交陣，則滿足以下條件 1 a t是正交...
讓矩陣A對角化的正交矩陣P是唯一的嗎
墨汁諾 可以從幾何角度理解，正交化就是讓向量兩兩垂直，如果有兩個線性無關的特徵向量，不妨記為 1，2，以 1為底作 2的垂線形成的新的正交向量，和以 2為底形成的正交向量座標肯定不同。畫兩個方向的向量做個圖就出來了很直觀明。1 p不是唯一的 p由a的特徵向量構成 特徵向量 於齊次線性方zhi程組的基...
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數學題找我 什麼叫作矩陣 矩陣乘法是線性代數中最常見的運算之一，它在數值計算中有廣泛的應用。若a和b是2個nn的矩陣，則它們的乘積c ab同樣是一個nn的矩陣。a和b的乘積矩陣c中的元素c i,j 定義為 若依此定義來計算a和b的乘積矩陣c，則每計算c的一個元素c i,j 需要做n個乘法和n 1次加...