1樓：風雨過後
高中的時候，我們從課本上可以得知等差數列的求和公式，也震驚於少年高斯的精彩故事，也就是 [公式] ,在高中數學課本選修2-2的微積分定義的時候曾經引用求和公式 [公式] ，至此，我們將走向一段神奇的旅程，這裡不涉及嚴格的推導過程，只有思維的不斷髮散和方法的不斷大膽化(我相信沒有繁瑣的證明會有更多人願意**)，所涉及的東西有些可以在網路上找嚴格的證明，但是我需要提醒一下:因為是思維發散，所以在我不保證一定正確的時候我會有些提示.現在，讓我們開啟這一段奇妙之旅。
第一章.從等差數列開始
在普通的一天，我們注意到 [公式] ，也許我們可能看到首項加尾項乘項數再除以2.我們現在把這個括號開啟，寫成一般的多項式得到
[公式]
也許這沒有什麼，畢竟高中課本已經告訴我們等差數列求和可以寫成 [公式] 的形式.但我們結合之前的平方求和公式得到
[公式]
也許這也沒什麼，我們好奇心迸發了！我們想求三次方的求和，這怎麼辦呢?
我們注意到，等差數列的求和類似一個二次函式(但是 [公式] 似乎不願意取非整數),平方數列的求和變成了一個三次函式！那....是否也可以說明...
三次方的求和是不是可以表示成一個四次函式呢？於是我們就有事做了！不妨假設
[公式]
現在我們的目標就變成了求出這些係數。當然，我們可以用 [公式] 來獲取一些靈感，也就是說作差就是下面這玩意兒
[公式]
接下來就變成了這一坨式子，似乎還是挺複雜的，我們可以參考楊輝三角形來輔助運算(不許跑
2樓：匿名使用者
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 1^3+2^3+3^3......
+20^3=(210 )^2=44100 1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
3樓：茫茫人海一亮星
一的三次方加2三次方一直加到n的三次方得什麼?並寫出過程？ 計算過程如下：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 1^3+2^3+3^3......
+20^3=(210 )^2=44100 1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1的3次方+2的3次方.....一直到n的3次方怎麼求和？ 請詳細點 謝謝大神解答！ 50
4樓：我是一個麻瓜啊
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明過程如下：（這裡的證明過程用到了迭代法）
上式中各式相加，紅色部分和紅色部分抵消為0，綠色和綠色部分抵消為0，以此類推。
5樓：匿名使用者
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2證明：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+13^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+14^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1.(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
6樓：匿名使用者
剛好看再找這個問題的答案，但是看到幾個答案的證明有一步都沒看懂。借樓求教，如下圖
我怎麼感覺這不符合基本運演算法則呢
所以應該是下面這樣的吧
這才是符合基本運算的不是麼
7樓：匿名使用者
先推導1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
由n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
得2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
整理3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
再推導1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
由(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
得2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
整理後4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
進而1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
8樓：**
1³＋2³＋3³＋…＋n³=[n(n＋1)/2]²
1的三次方+2的三次方一直加到n的三次方是多少
9樓：爆拆專用y矢
^^^^1^zhi3+2^dao3+3^3+...+n^專3=[n(n+1)/2]^屬2 1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 1^3+2^3+3^3......
+20^3=(210 )^2=44100 1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100
一的三次方+2的三次方+3的三次方一直加到n的三次方等於多少求結果要完整的解
10樓：匿名使用者
^^^^^^1^bai3+2^3+3^du3+……+n^zhi3=[n(n+1)/2]^dao2
證明：(n+1)^內4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
. (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加容有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
a的三次方加b的三次方等於多少
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