1樓：匿名使用者
假設根號二是一分數，設其為（p/q）（p,q互質），由根號二的意義得（p/q)的平方=2，即有（p的平方/q的平方）=2，故q的平方=2倍的p的平方。
請注意，2倍的p的平方必定是偶數，因而q的平方也必定是偶數，進而q一定是偶數。於是可設q=2k（k是正整數），由上述式子得
（2k）的平方=2倍的p的平方，從而2倍的k的平方=p的平方。
所以p的平方必定是偶數，於是p也是偶數，這與p,q互質矛盾。
這個矛盾表明我們的假設「根號二是一分數」不成立，所以根號二既非整數，也非分數，就是說，根號二是無理數。
參考資料
《數學》初二上冊第12頁
2樓：匿名使用者
用反證法。
假定^2是有理數，那麼一定可以表示為p/q，其中p和q是互質的自然數，且q<>1。
兩邊同時平方，得到：
2=p^2/q^2
由於平方運算不影響原來自然數的奇偶性，即偶數的平方還是偶數，奇數的平方還是奇數，因此上式也可以寫為：
2=p/q，
而且平方操作也不影響互質性，因此p和q是互質的自然數，且q<>1。
1 p,q不可能都是偶數，因為這違背了「互質」的前提，因為兩個偶數必然有公因子2；
2 p,q不可能都是奇數，因為兩個奇數相除不可能得到2；
3 只有一種可能性是p,q為一奇數，一偶數，但是這樣一來，p就有了q作為它的因子，這與題設中互質的前提又有矛盾。
綜合1/2/3，我們不可能找到這樣兩個自然數p, q來表示根號2。因此根據有理數的定義，根號2只能是無理數。證畢。
3樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
4樓：匿名使用者
假設根號二是有理數設 根號2=n/m(m,n屬於z,m,n互質)根號2*m=nn方=2*m方n是2的倍數設n=2k則4k方=2m方m方=2*k方(m方為偶數)所以 m為偶數所以 2為m,n公約數與 m,n互質矛盾所以根號2不是有理數得證
5樓：匿名使用者
假設存在這樣一個有理數p, p^2 = 2. 再設p = a/b， a、b是兩正整數，且既約，就是沒有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2； 變形以後得a^2 = 2 * b^2，推出a^2是個偶數，同時為了滿足a^2是個平方數，那b^2必須包含一個因子2，所以a^2 / b^2不是既約的，那a/b也不是既約的啦！與前提矛盾，證得根號2不是有理數！
6樓：匿名使用者
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
證明根號2是無理數
7樓：顏代
證明：假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。
即√2=n/m。
那麼由√2=n/m可得，
2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2
因為n^2=2*m^2，那麼n^2為偶數，則n也為偶數。
則可令n=2a，那麼(2a)^2=2*m^2，化簡得2a^2=m^2，同理可得m也為偶數。
那可令m=2b。
那麼由m=2b，n=2a可得m與n有共同的質因數2，即m和n不是互質的兩個數。
所以假設不成立。
即√2是有理數不成立，那麼√2是無理數。
8樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
9樓：鮮日國漢
反證法如果√2是有理數，
必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)
兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，
設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,
q^=2k^
顯然q業為偶數，
與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√2是無理數
10樓：
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
11樓：郝宸呼延華茂
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q為最簡分數,即最簡分數形式。
把√2=p/q
兩邊平方
得2=(p^2)/(q^2)
即2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p
必定為偶數，設p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
12樓：曾自覃寄春
證明：假設根號2為有理數，則可表示為兩個最簡整數比的形式：
根號2=p/q
則兩邊平方得：2=
p2/q2
因為2q2必為偶數
所以p必為偶數，設為p=2m，（m屬於z）則p2=4m2=2q2，q2=2m2
所以，p必為4的倍數，q必為2的倍數！
則p，q必有公因數2，p/q不為最簡整數比！
與假設相矛盾
所以，假設錯誤，根號2為無理數！
13樓：匿名使用者
反證法假設√2是有理數，則√2＝m/n(m,n是互質的整數)所以m^2=2n^2,
2n^2是偶數，所以m^2是偶數，所以m=2k（k∈z）,所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶數。
這與m,n互質矛盾
所以假設不成立得證。
14樓：匿名使用者
反證法:設根號2為有理數,則它可化為兩個整數相除的形式.分母為整數,假設分母不含因子根號2，則分子必定含有因子根號2,又分子為整數,則分子中根號2的個數必定為偶.
既然分子中根號2個數為偶,則它與分母相除就得不到根號2,這就產生了矛盾。
15樓：軒轅流霜
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數，並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
16樓：飽和食鹽水
有理數的性質是它可以化成一個分數m/n的形式，且m,n互質．設根2=m/n 則2=m^2/n^2
所以m^2為2的倍數，所以m為偶數．設m=2k,代入原式，所以n^2=2k^2,則n又為的倍數．
而這與m,n互質矛盾，所以不存在這樣的m,n.
所以根2為無理數．
17樓：匿名使用者
假設根號2為有理數，那麼必然可以表示為兩個整數之比，即m/n設m/n為最簡分數，即m.n互質
因為m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2為偶數，即m為偶數
不妨設m=2k
那麼m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2為偶數，即n為偶數
所以m,n均為偶數，m/n必有公約數2，即m/n不是最簡分數，與假設矛盾，所以根號2不能表示為兩個整數m/n之比，所以不是有理數，即是無理數
18樓：匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
19樓：匿名使用者
證明：如果根號2是有理數，
則滿足有理數的性質：任何有理數可以表示成p/q的形式其中p，q為正整數並且p，q互素即最大公約數是1則根據最大公因數的性質有正整數m，n
使mp+nq=1 …………（1）
因為 p/q=根號2 ，為有理數
所以 p=（根號2）*q也是有理數（根據有理數域性質）…………（2）代入（1）
m*（根號2）*q+nq=1 …………（3）又因為m>=1,根號2>1,q>=1,n>=1,所以m*（根號2）*q+nq>1，
與（3）矛盾
所以根號2為無理數證畢！
20樓：蕭泊星辰
上面的反證法是有漏洞的，題目要求證明√2是無理數，就相當於證明只有偶數的平方才是偶數，因此「只有偶數的平方才是偶數」是不能作為論據的，因為那是待證明的結論。
況且，既然假設了√2是有理數，那麼√2這個「有理數」的平方就是偶數，何來「只有偶數的平方才是偶數」？
嚴格的反證法應該是：
假設√2是有理數，即√2=m/n，m/n為最簡分數
由於1<√2<2，所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈n ; n>(√2-1)n=m-n∈n
所以，√2的最簡分數形式也許為[(√2-1)m]/[(√2-1)n]，但肯定不是m/n，這與假設矛盾。故√2是無理數。
怎麼證明根號2是無理數
21樓：還好知道點
此題可用反證法進行證明，具體證明過程如下：
假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2=a/b，其中a、b都是正整數，且為最簡，即不能再約分（即a、b只能一個為奇數，一個為偶數），很顯然，b≠1；
則兩邊分別平方，可得2=a²/b²
即a²可被b²整除，分兩種情況考慮
1、a為奇數、b為偶數，此時a²仍為奇數、b²仍為偶數，這時a²顯然不能被b²整除，即這種情況不滿足題意；
2、a為偶數、b為奇數，此時a能被2整除，則a²能被4整除，則a²/2仍為偶數，而根據假設a²/2=b²，此時b²應為奇數；但該情況時b為奇數，b²則也為奇數，即不滿足題意。
綜合考慮，由假設得出的結論均存在矛盾，則證明假設錯誤，原命題正確。
即根號2為無理數是正確的。
22樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
23樓：豐弼資谷秋
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
所以根號2是無理數
證明根號2是無理數，怎麼證明根號2是無理數
顏代 證明 假設 2是有理數。那麼可用互質的兩個數m n來表示 2。即 2 n m。那麼由 2 n m可得，2 n 2 m 2，即n 2 2 m 2 因為n 2 2 m 2，那麼n 2為偶數，則n也為偶數。則可令n 2a，那麼 2a 2 2 m 2，化簡得2a 2 m 2，同理可得m也為偶數。那可令...
怎麼證明根號2是無理數
還好知道點 此題可用反證法進行證明，具體證明過程如下 假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2 a b，其中a b都是正整數，且為最簡，即不能再約分 即a b只能一個為奇數，一個為偶數 很顯然，b 1 則兩邊分別平方，可得2 a b 即a ...
如何證明是無理數，怎麼證明 是無理數？
牧時芳勾君 因為沒有一個分數可以表示 可以設 x除以y，但x和y都是有理數，因此假設不成立，所以 是無理數 犁堯岑瑛琭 假設 是有理數，則 a b，a,b為自然數 令f x x n a bx n n 若0 0 0 以上兩式相乘得 0 當n充分大時，在 0，區間上的積分有 0 f x sinxdx n...