1樓：牧時芳勾君
因為沒有一個分數可以表示π，可以設π＝x除以y，但x和y都是有理數，因此假設不成立，所以π是無理數
2樓：犁堯岑瑛琭
假設∏是有理數，則∏=a/b，（a,b為自然數）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上兩式相乘得： 0 當n充分大時，,在[0，∏]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1） 又令：f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(∏)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有： ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，（此處上限為∏，下限為0） =f(∏)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以∏不是有理數，又它是實數，故∏是無理數。 3樓：佇立的曠野 圓周率是有理數還是無理數，證明給你看 如何證明π是無理數？ 4樓：demon陌 把tan(m/n)寫成一個繁分 數的形式，如果m/n是有理數，這個繁分數的項數就是無窮的，但是根據繁分數的性質，項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數。 由於這個命題是真(繁分數的性質)，這句話的逆反命題，也就是對於項數有限的繁分數，m/n是無理數也是真。tan(pi/4)=1，1是有限項的繁分數，所以pi/4是無理數。 把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。如果以39位精度的圓周率值，來計算可觀測宇宙的大小，誤差還不到一個原子的體積。 5樓：萊特資訊科技**** 這個問題最早是由德國數學家lambert在17世紀證明出來的.他的證明是把tan(m/n)寫成一個繁分數的形式,如果m/n是有理數,這個繁分數的項數就是無窮的,但是根據繁分數的性質,項數是無窮的繁分數表示的的是一個無理數.由於這個命題是真(繁分數的性質),這句話的逆反命題,也就是對於項數有限的繁分數,m/n是無理數也是真. tan(pi/4)=1,1是有限項的繁分數,所以pi/4是無理數. 現在還有好多別的證明方法.比方說可以用證明自然對數底e是無理數的反正法來證.大體來說就是建立一個大於0的數的數列,然後如果假設pi是有理數,這個數列會同時是一個大於0(不是大於等於),並且向0無限接近的數列,然後得出pi只能是無理數 怎麼證明π^π是無理數？ 6樓： e和π的大多數和、積、冪等等，例如π^π，π+e，π-e，πe，e^e，e^π尚未知是有理數還是無理數或者是超越數。參考http://mathworld. 7樓：匿名使用者 π本身就是一個無理數。無理數的任何次方(除0以外)，仍然是一個無理數，所以π的π次方是無理數 8樓：匿名使用者 無理數的定義是既無限，又不迴圈的小數。π本身就是無理數，（無論用什麼數字都無法表示它的「精確值」）所以π的π次方還是無理數。 證明π是無理數 9樓： 假設pi=a/b，我們定義（對某個n）： f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! f(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 這裡f^(2j)是f的2j次導數. 於是f和f有如下性質（都很容易驗證）: （1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。 （2)f(x) = f(pi - x) （3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增，並且x趨於0時f(x)趨於0， x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n! （4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。 （5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數（由1)可知）。 （6)f(0)和f(pi)是整數（由4)，5)可知）。 （7)f + f'' = f （8)(f'·sin - f·cos)' = f·sin （由7)可知）。 這樣，對f·sin從0到pi進行定積分，就是 (f'(pi)sin(pi)-f(pi)cos(pi)) - (f'(0)sin(0)-f(0)cos(0)) =f(pi)+f(0) 由（6)可知這是個整數。 問題在於如果把n取得很大，由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾，證畢。 10樓： 利用反證法，假設π是有理數，設π=a/b,a,b為互質正整數，定義f(x)=x^n*(a–bx)^n/n! =\sum_^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!. f(0)=0;當02n時顯然有f(r)(0)=0, 當 11樓：o5議會某人員 分子和分母不是無理數這個分數就一定是有理數。然而周長／直徑等於兀，但周長和直徑都是有理數 12樓：欒聰丘夜梅 假設∏是有理數，則∏=a/b，(a,b為自然數) 令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!) 若0 0 0 以上兩式相乘得: 0 當n充分大時，,在[0，∏]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，f(x)和f(∏)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx]，(此處上限為∏，下限為0) =f(∏)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]區間上的積分為整數，這與(1)式矛盾。所以∏不是有理數，又它是實數，故∏是無理數。 13樓：電燈劍客 3樓貼的證法已經是很簡潔的經典證法了。 首先需要肯定的是，π的定義依賴於極限，所以基本上不可能在初等數學範疇裡完成。 還有一種比較常規的方法就是利用連分數，其思想很簡單，因為有理數的連分數表示是有限的，只要找到π的連分數表示就行了。這種做法還可以適用於很多無理數的證明，當然你首先需要掌握如何把taylor級數轉化成連分數形式。學習這種方法還不如把3樓提供的方法看懂。 如何證明π是無理數？如何證明π是無限不迴圈小數？ 14樓：民辦教師小小草 假設∏是有理數，則∏=a/b，（a,b為自然數） 令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!) 若 15樓：匿名使用者 它不能用一個分數來表示 顏代 證明 假設 2是有理數。那麼可用互質的兩個數m n來表示 2。即 2 n m。那麼由 2 n m可得，2 n 2 m 2，即n 2 2 m 2 因為n 2 2 m 2，那麼n 2為偶數，則n也為偶數。則可令n 2a，那麼 2a 2 2 m 2，化簡得2a 2 m 2，同理可得m也為偶數。那可令... 還好知道點 此題可用反證法進行證明，具體證明過程如下 假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2 a b，其中a b都是正整數，且為最簡，即不能再約分 即a b只能一個為奇數，一個為偶數 很顯然，b 1 則兩邊分別平方，可得2 a b 即a ... 分析 有理數的概念 有限小數 和 無限迴圈小數 統稱為有理數。整數和分數也統稱為有理數。所有的分數都是有理數，分子除以分母，最終一定是迴圈的。無理數的概念 無限不迴圈小數，可引申為 開方開不盡的數 反證法的要領是假設一個明顯荒謬的結論成立，然後正確地證明原假設是錯誤的。解 假設 3 是有理數，1 3...證明根號2是無理數，怎麼證明根號2是無理數
怎麼證明根號2是無理數
如何證明根號三是無理數，如何證明根號3是無理數