n ln 1 1 n 的收斂性證明

時間 2021-09-08 15:30:07

1樓:試圖讓豬飛翔

呵呵不會 已經忘記了

猜想收斂於0

1/n+ln(1+1/n) 好像可以用等價無窮小的方法證明好像可以用 拉格朗日公式

好像可以用夾逼法則

放縮放棄

2樓:匿名使用者

∑1/n+in(1+1/n)>∑1/n=∫1/xdx(1到正無窮)=inn=無窮大

3樓:力琳瑜

方法一:s=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)

>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由於lim sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0

因此sn有下界

sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0

所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理,可知sn必有極限,因此

s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在。設為p

而1/n-ln(1+1/n)=1/n+lnn-ln(1+n)

那麼1/n-ln(1+1/n)的前n項和s(n)為1+0-ln2+1/2+ln2-ln3+......+1/(n-1)-lnn+1/n+lnn-ln(n+1)

=1+1/2+1/3+......+1/n-ln(n+1)

=1+1/2+1/3+......+1/n-lnn-ln(1+1/n)

其極限為p-0=p,也就是說lims(n)=p(n趨於無窮)

那麼1/n-ln(1+1/n)是收斂的,且收斂與p

方法二:

ln(1+1/n)>1/(n+1),則

1/n-ln(1+1/n)<1/n-1/(n+1)=1/(n^2+n),

級數1/(n^2+n)是收斂的,

根據比較法得級數1/n-ln(1+1/n)也是收斂的。

其中ln(1+1/n)>1/(n+1)可以通過

y=ln(1+1/x)-1/(x+1)求導判單調法而得。

4樓:冰鋁

首先,當x>0時,ln(1+x)

將1/n記作x,那麼用羅比塔法則可以得到,當x趨於0時,(x-ln(1+x))/x^2趨於1/2

所以你說的這個級數通項和1/n^2是同階無窮小,因此收斂

5樓:靈光

因為ln(1+1/n)=1/n-1/2*1/n^2+o(1/n^2)所以1/n-ln(1+1/n)=1/2*1/n^2-o(1/n^2)也就是先利用冪級數將ln(1+1/n)=,然後觀察1/n-ln(1+1/n)的階。

和1/n^2同階的肯定收斂

判定級數(∞∑n-1)(-1)^n ln(1+1/n)是否收斂?如果收斂,說明是條件

6樓:菅穆歧丹雲

首先看∑1/ln(1+n)

因為lim(n→∞)1/ln(1+n)/(1/n)=lim(n→∞)n/ln(1+n)=lim(n→∞)

1/(1/(n+1))

=lim(n→∞)

n+1=∞

而∑1/n發散,所以∑1/ln(1+n)發散所以不是絕對收斂

然後對於交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂性,由萊布里茨判別法:

lim(n→∞)1/ln(1+n)=0

且1/ln(1+n)>1/ln(n+2)

所以交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂,且和s

7樓:茹翊神諭者

簡單計算一下即可,答案如圖所示

冪級數ln(1+n)/n的斂散性判斷

8樓:

分析如下:

首先,ln(1+1/n)

=ln((n+1)/n)

=ln(n+1)-ln n

從而,∑ln(1+1/n)

=-ln1+ln(n+1)

=ln(n+1)

於是,lim ln(n+1)=∞

最後,得到∑ln(1+1/n)發散。

9樓:藍調

當n>2時,ln(1+n)/n>1/n,調和級數發散,由比較審斂法,知道,原級數發散.

10樓:

顯然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn於是1/lnn!>1/(nlnn)

而級數 求和(n從2到無窮)1/(nlnn)發散,因此原級數發散.

判斷級數∑ln [1+(-1)n/根號n]的斂散性

11樓:向日葵

首先看∑1/ln(1+n)

因為lim(n→∞)1/ln(1+n)/(1/n)=lim(n→∞) n/ln(1+n)=lim(n→∞) 1/(1/(n+1))

=lim(n→∞) n+1=∞

而∑1/n發散,所以∑1/ln(1+n)發散

所以不是絕對收斂

然後對於交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂性,由萊布里茨判別法:

lim(n→∞)1/ln(1+n)=0

且 1/ln(1+n)>1/ln(n+2)

所以交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂,且和s

例如:判斷∞∑n=[(_1)^(n-1)]/ln(n 1)的斂散性,若收斂,指出是絕對收斂還是條件 …… ∑1/ln(1+n)因為lim(n→∞)1/ln(1+n)/(1/n)=lim(n→∞) n/ln(1+n)=lim(n→∞) 1/(1/(n+1))=lim(n→∞) n+1=∞

而∑1/n發散,所以∑1/ln(1+n)發散所以不是絕對收斂然後對於交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂性,由萊布里茨判別法:lim(n→∞)1/ln(1+n)=0且 1/ln(1+n)>1/ln(n+2)所以交錯級數∑(-1)^n-1/ln(1+n)收斂

12樓:匿名使用者

請問這個題我有個疑問,如果使用無窮小替換的話原級數不就與 (-1)^n/根號n 等價了,然後

這個新級數用萊布尼茨判別法是收斂的。

我想問問這種方法錯在**啊,我看書上有的題可以等價啊。

13樓:匿名使用者

如圖所示:

其實是拿1/n,這裡只是把1/n提上來而已。

14樓:匿名使用者

結論啊 ln(1+1/n的p次方)和1/n的p次方斂散性相同

15樓:

時隔一年了無意翻開這個問題,想問問樓主當時看的什麼書?

16樓:零之光芒

那是除以n分之一吧,比較審斂。

怎麼判斷冪級數的收斂性,冪級數的收斂性判斷

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