1樓：茶茶醬
cauchy不等式的形式化寫法就是： 記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。 還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......
+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx． 因為cosx小於等於1，所以：
a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......
+bn^)^1/2 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種方法證，這裡只寫出兩種較常用的證法． 參考資料： http://zhidao.
2樓：茶杯
可參考柯西不等式在中學數學中的應用 http://hx.ptzx.
net/sx/sxsj/200810/357.html 其他資料 http://baike.
柯西不等式的簡便證明方法？？
3樓：匿名使用者
^^證明：二維形式的證明 (a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈r)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2,等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立.
三角形式的證明 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
證明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
注：| |表示絕對值.
向量形式的證明 令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
注：「√」表示平方根.
一般形式的證明 (∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
證明：等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.共n2 /2項
等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2 /2項
用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
推廣形式的證明
推廣形式為 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n (*)
證明如下
記a1=x1+y1+…,a2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/a1+x2/a2+…+xn/an)≥[x1*x2*…*xn/(a1*a2*…*an)]^(1/n)=[(πx)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)
(1/n)(y1/a1+y2/a2+…+yn/an)≥[y1*y2*…*yn/(a1*a2*…*an)]^(1/n)=[(πy)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)
……上述m個不等式疊加得
1≥[(πx)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)+[(πy)/(a1*a2*…*an)]^(1/n)+…
即(a1*a2*…*an)^(1/n)≥(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…
即 a1*a2*…*an≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(πx)^(1/n)+(πy)^(1/n)+…]^n
因此,不等式(*)成立.
（注：推廣形式即為卡爾鬆不等式）
4樓：鄭睿智
柯西不等式可以簡單地記做：平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。
如：兩列數
0，1和 2，3
有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比較簡單的證明方法就是構造一個輔助函式，這個輔助函式是二次函式，於是用二次函式取值條件就得到cauchy不等式。
還有一種形式比較麻煩的，但確實很容易想到的證法，就是完全把cauchy不等式右邊-左邊的式子，化成一組平方和的形式。
我這裡只給出前一種證法。
cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恆有
f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
學了更多的數學以後就知道，這個不等式可以推廣到一般的內積空間中，那時證明的書寫會更簡潔一些。我們現在的證明只是其中的一個特例罷了。
柯西不等式的證明方法？柯西不等式證明方法是什麼？
柯西不等式 ai,bi r，求證 a1 2 a2 2 an 2 b1 2 b2 2 bn 2 a1 b1 a2 b2 an bn 2.我覺得比較簡單的方法就是構造法，構造n維向量 a1,a2,an b1,b2,bn 則 a1 2 a2 2 an 2 b1 2 b2 2 bn 2 cos a1 b1 ...
柯西不等式的一個推論證明方法，怎麼證明柯西不等式
這太簡單了啊，將柯西不等式變形就得到了。a1 b1 2 a2 b2 2 an bn 2 b1 2 b2 2 bn 2 a1 b1 b1 2 a2 b2 b2 2 an bn bn 2 a1 a2 an 2 再將左邊的 b1 2 b2 2 bn 2 b1 b2 bn 除到右邊就得到了。不明白的地方再問...
關於柯西不等式在高中的運用，柯西不等式在高中數學中的哪些特定題型可以運用
柯西不等式可以簡單地記做 平方和的積 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。如 兩列數 0，1和 2，3有 0 2 1 2 2 2 3 2 26 0 2 1 3 2 9.形式比較簡單的證明方法就是構造一個輔助函式，這個輔助函式是二次函式，於是用二次函式取值條件就得到cau...