什麼是不等式的證明?有哪些解法

時間 2021-08-11 18:14:09

1樓:昨夜又風

不等式證明知識概要

河北/趙春祥

不等式的證明問題,由於題型多變、方法多樣、技巧性強,加上無固定的規律可循,往往不是用一種方法就能解決的,它是多種方法的靈活運用,也是各種思想方法的集中體現,因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式,靈活運用常用的證明方法。

一、要點精析

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用,比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為:

①作差:考察不等式左右兩邊構成的差式,將其看作一個整體;②變形:把不等式兩邊的差進行變形,或變形為一個常數,或變形為若干個因式的積,或變形為一個或幾個平方的和等等,其中變形是求差法的關鍵,配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷:

根據已知條件與上述變形結果,判斷不等式兩邊差的正負號,最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍:當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是:“若a,b∈r+,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為:

①作商:將左右兩端作商;②變形:化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關係,就是判定商大於1或小於1。

應用範圍:當被證的不等式兩端含有冪、指數式時,一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎,藉助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最後推出所要證明的不等式,其特點和思路是“由因導果”,從“已知”看“需知”,逐步推出“結論”。其邏輯關係為:

ab1 b2 b3… bnb,即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發,分析這個不等式成立的充分條件,進而轉化為判定那個條件是否具備,其特點和思路是“執果索因”,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”。用分析法證明ab的邏輯關係為:

bb1b1 b3 … bna,書寫的模式是:為了證明命題b成立,只需證明命題b1為真,從而有…,這隻需證明b2為真,從而又有…,……這隻需證明a為真,而已知a為真,故b必為真。這種證題模式告訴我們,分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明,從正面證不好說清楚,可以從正難則反的角度考慮,即要證明不等式a>b,先假設a≤b,由題設及其它性質,推出矛盾,從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時,可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結構比較複雜,變數較多,變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換,以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通,給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。

(1)三角代換法:多用於條件不等式的證明,當所給條件較複雜,一個變數不易用另一個變數表示,這時可考慮三角代換,將兩個變數都有同一個參數列示。此法如果運用恰當,可溝通三角與代數的聯絡,將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題,實施的三角代換方法有:

①若x2+y2=1,可設x=cosθ,y=sinθ;②若x2+y2≤1,可設x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1);③對於含有的不等式,由於|x|≤1,可設x=cosθ;④若x+y+z=xyz,由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知,可設x=taaa,y=tanb,z=tanc,其中a+b+c=π。(2)增量換元法:在對稱式(任意交換兩個字母,代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式,考慮用增量法進行換元,其目的是通過換元達到減元,使問題化難為易,化繁為簡。

如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t進行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式a

(1)不等式的傳遞性;(2)等量加不等量為不等量;(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有:①舍掉(或加進)一些項;②在分式中放大或縮小分子或分母;③應用均值不等式進行放縮。

二、難點突破

1.在用商值比較法證明不等式時,要注意分母的正、負號,以確定不等號的方向。

2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面,前者執果索因,利於思考,因為它方向明確,思路自然,易於掌握;後者是由因導果,宜於表述,因為它條理清晰,形式簡潔,適合人們的思維習慣。但是,用分析法探求證明不等式,只是一種重要的探求方式,而不是一種好的書寫形式,因為它敘述較繁,如果把“只需證明”等字眼不寫,就成了錯誤。

而用綜合法書寫的形式,它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時,分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式,難以入手時常用分析法探索證題的途徑,之後用綜合法形式寫出它的證明過程,以適應人們習慣的思維規律。

還有的不等式證明難度較大,需一邊分析,一邊綜合,實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係。分析的終點是綜合的起點,綜合的終點又成為進一步分析的起點。

3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”,也沒有必要要求“步步可逆”,因為這時僅需尋找充分條件,而不是充要條件。如果非要“步步可逆”,則限制了分析法解決問題的範圍,使得分析法只能使用於證明等價命題了。

用分析法證明問題時,一定要恰當地用好“要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語。

4.反證法證明不等式時,必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以匯出矛盾。

5.在三角換元中,由於已知條件的限制作用,可能對引入的角有一定的限制,應引起高度重視,否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點,也是難點,且要注意整體思想的應用。

6.運用放縮法證明不等式時要把握好“放縮”的尺度,即要恰當、適度,否則將達不到預期的目的,或得出錯誤的結論。另外,是分組分別放縮還是單個對應放縮,是部分放縮還是整體放縮,都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

(摘自:《考試報·高二數學版》2023年/07月/20日)

1、比較法(作差法)

在比較兩個實數 和 的大小時,可藉助 的符號來判斷。步驟一般為:作差——變形——判斷(正號、負號、零)。

變形時常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。

例1、已知: , ,求證: 。

證明: ,故得 。

2、分析法(逆推法)

從要證明的結論出發,一步一步地推導,最後達到命題的已知條件(可明顯成立的不等式、已知不等式等),其每一步的推導過程都必須可逆。

例2、求證: 。

證明:要證 ,即證 ,即 , , , , ,由此逆推即得 。

3、綜合法

證題時,從已知條件入手,經過逐步的邏輯推導,運用已知的定義、定理、公式等,最終達到要證結論,這是一種常用的方法。

例3、已知: , 同號,求證: 。

證明:因為 , 同號,所以 , ,則 ,即 。

4、作商法(作比法)

在證題時,一般在 , 均為正數時,藉助 或 來判斷其大小,步驟一般為:作商——變形——判斷(大於1或小於1)。

例4、設 ,求證: 。

證明:因為 ,所以 , 。而 ,故 。

5、反證法

先假設要證明的結論不對,由此經過合理的邏輯推導得出矛盾,從而否定假設,匯出結論的正確性,達到證題的目的。

例5、已知 , 是大於1的整數,求證: 。

證明:假設 ,則 ,即 ,故 ,這與已知矛盾,所以 。

6、迭合法(降元法)

把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分,分別證明其各部分成立,再利用同向不等式相加或相乘的性質,使原不等式獲證。

例6、已知: , ,求證: 。

證明:因為 , ,

所以 , 。

由柯西不等式

,所以原不等式獲證。

7、放縮法(增減法、加強不等式法)

在證題過程中,根據不等式的傳遞性,常採用捨去一些正項(或負項)而使不等式的各項之和變小(或變大),或把和(或積)裡的各項換以較大(或較小)的數,或在分式中擴大(或縮小)分式中的分子(或分母),從而達到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當,不要過頭。常用方法為:

改變分子(分母)放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

例7、求證: 。

證明:令 ,則

,所以 。

8、數學歸納法

對於含有 的不等式,當 取第一個值時不等式成立,如果使不等式在 時成立的假設下,還能證明不等式在 時也成立,那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。

例8、已知: , , ,求證: 。

證明:(1)當 時, ,不等式成立;

(2)若 時, 成立,則

= ,即 成立。

根據(1)、(2), 對於大於1的自然數 都成立。

9、換元法

在證題過程中,以變數代換的方法,選擇適當的輔助未知數,使問題的證明達到簡化。

例9、已知: ,求證: 。

證明:設 , ,則 ,

(因為 , ),

所以 。

10、三角代換法

藉助三角變換,在證題中可使某些問題變易。

例10、已知: , ,求證: 。

證明:設 ,則 ;設 ,則

所以 。

11、判別式法

通過構造一元二次方程,利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值範圍,來證明所要證明的不等式。

例11、設 ,且 ,求證: 。

證明:設 ,則

代入 中得 ,即

因為 , ,所以 ,即 ,

解得 ,故 。

12、標準化法

形如 的函式,其中 ,且

為常數,則當 的值之間越接近時, 的值越大(或不變);當 時, 取最大值,即

。標準化定理:當a+b為常數時,有 。

證明:記a+b=c,則

,求導得 ,由 得c=2a,即a=b

又由 知 的極大值點必在a=b時取得

由於當a=b時, ,故得不等式。

同理,可推廣到關於 個變元的情形。

例12、設a,b,c為三角形的三內角,求證: 。

證明:由標準化定理得,當a=b=c時, ,取最大值 ,故 。

13、等式法

應用一些等式的結論,可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。

例13(2023年波蘭數學競賽題)、 為 的三邊長,求證:

。證明:由海**式 ,

其中 。

兩邊平方,移項整理得

而 ,所以 。

14、函式極值法

通過變換,把某些問題歸納為求函式的極值,達到證明不等式的目的。

例14、設 ,求證: 。

證明:當 時, 取最大值 ;

當 時, 取最小值-4。

故 。15、單調函式法

當 屬於某區間,有 ,則 單調上升;若 ,則 單調下降。推廣之,若證 ,只須證 及 即可, 。

例15、 ,求證: 。

證明:當 時, ,而

故得 。

16、中值定理法

利用中值定理: 是在區間 上有定義的連續函式,且可導,則存在 , ,滿足 來證明某些不等式,達到簡便的目的。

例16、求證: 。

證明:設 ,則

故 。17、分解法

按照一定的法則,把一個數或式分解為幾個數或式,使複雜問題轉化為簡單易解的基本問題,以便分而治之,各個擊破,從而達到證明不等式的目的。

例17、 ,且 ,求證: 。

證明:因為

所以 。

18、構造法

在證明不等式時,有時通過構造某種模型、函式、恆等式、複數等,可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。

例18、已知: , ,求證: 。

證明:依題設,構造複數 , ,則 ,

所以 故 。

19、排序法

利用排序不等式來證明某些不等式。

排序不等式:設 , ,則有

,其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。

簡記作:反序和 亂序和 同序和。

例19、求證: 。

證明:因為 有序,所以根據排序不等式同序和最大,即 。

20、幾何法

藉助幾何圖形,運用幾何或三角知識可使某些證明變易。

例20、已知: ,且 ,求證: 。

證明:以 為斜邊, 為直角邊作

延長ab至d,使 ,延長ac至e,使 ,過c作ad的平行線交de於f,則 ∽ ,令 ,

所以 又 ,即 ,所以 。

另外,還可以利用重要的不等式來證題,如平均不等式、柯西(cauchy)不等式、琴生(jensen)不等式、絕對值不等式、貝努利(j.bernoulli)不等式、赫爾德(o.hölder)不等式、三角形不等式、閔可夫斯基(h.

minkowski)不等式等,這裡不再煩述了。

在實際證明中,以上方法往往相互結合、互相包含,證題時,可能同時運用幾種方法,結合起來加以證明。

參考文獻

[1]李玉琪主編•初等代數研究•北京:中國礦業大學出版社,1993

[2]方初寶等編•數學猜想法**•重慶:科技文獻出版社重慶分社,1988

[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京:科學普及出版社,1983

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