1樓：百度文庫精選
內容來自使用者:天道酬勤能補拙
高考數學優質專題（附經典解析）
利用導數證明不等式
基本方法：
解決這類問題關鍵是構造一個新的函式，再研究新函式在所考慮區間上的單調性和極值、最值；注意：構造新函式不同，確定符號難易程度可能不同，所以構造新函式時可對原不等式作適當的變形再進行構造.
先構造在賦值，證明和式或積式成立.
一、典型例題
1.已知函式，證明：.
2.已知函式.
（1）若，求a的值；
（2）設m為整數，且對於任意正整數n，，求m的最小值.
二、課堂練習
1.已知，當時，求證：.
2.已知函式，.
（1）若對恆成立，求的取值範圍；
（2）證明：不等式對於正整數恆成立（其中為自然對數的底數）.
三、課後作業
1.已知函式，當時，證明：.
2.已知，證明：.
3.已知函式（其中，）.
（1）當時，求函式在點處的切線方程；
（2）求證：對於任意大於的正整數，都有.
2樓：
詳細答案請看**，剛才不心弄錯了個標點符號，現在改回來了，希望你學習愉快！
3樓：栩箭
設在2n維座標系上, 有
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
為了使用拉格朗日乘數法, 構造f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ...
* xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn + λ(a1 + a2 +...+ an - 1 )
記f'x為f對x的偏導, 則有
f'x1 = a1 * x1^(a1-1) * x2^a2 * ... * xn^an - a1
f'x2 = a2 * x1^a1 * x2^(a2-1) * ... * xn^an - a2..
.f'xn = an * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^(an-1) - an
f'a1 = ln(x1) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x1 + λ
f'a2 = ln(x2) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x2 + λ..
.f'an = ln(xn) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - xn + λ
f'λ = a1 + a2 +...+ an - 1
令上面的偏導都等於0, 解得駐點滿足x1 = x2 = ... = xn, 此時f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = 0
考慮所有邊界, 即xi = 0 或 ai = 0(i=1,2,...,n)
對於邊界xi=0(i=1,2,...,n)
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
= 0 - a1n1 - ... anxn < 0
對於邊界ai = 0(i=1,2,...,n),結果等價於原題x,a底數最大為(n-1)時的情況, 而當n = 2時,對於任意一個ai(i=1,2), x1^a1 + x2^a2 <= a1*x1 + a2*x2成立, 故而f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...
,an) <= 0
綜上, f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an)有最大值0, 則
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn <= 0
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an <= a1x1 + a2x2 + ... + anxn
4樓：
首先對2l,3l的表示敬意
2l用詹森不等式,知道這不等式的話這題就變得和小學的一樣了3l用拉格朗日乘數法,只能說"我去,太有霸氣了"
lz,昨天給你做了第一題,其實就離這第二題只有半步之遙了我沒有細想,抱歉抱歉...今天一早就有靈感了
5樓：匿名使用者
...什麼東西 看都沒看清楚。
高數導數的定義證明不等式
6樓：獨吟獨賞獨步
不是的。只求到一階導並不能說明一階導大於零，必須要證明一階導數單調遞迴增（或遞減），同時結合答某一點的一階導，才能說明在一個區間內導數大於零。
不知道這麼說你能不能理解，就是已知一點值+單調性，則可證範圍，缺少一個條件是不完整的。
7樓：山野田歩美
2/πx＜sinx＜x
因為x>0, 兩邊同除x， 就是2/π＜sinx/x＜1令g(x)=sinx/x
求導，再求其在0到π之間的極值就行啦
8樓：雷帝鄉鄉
這裡你直接是看不出來的
9樓：匿名使用者
f'是正數-正數，雖然很容易看出來x>1時，e^(x-1)-x>0，但還是要證明一下的。。。
一道高數題：證明不等式x-x^2/2
10樓：範曉琳加油
令f(x)=x-(x*x)/2-ln(1+x),則f'(x)=1-x-1/(1+x)=-(x*x)/(1+x)<0,所以
復f(x)單調製遞減,又f(0)=0,所以x-(x*x)/2式也同樣的證法.打不開了,沒寫.
11樓：匿名使用者
先證du明前半部分，設函式f(x)=x-x²/2-ln(1+x),顯然f(0)=0,f(x)'=1-x-1/(1+x),當x>0時，zhif(x)'<0，
所以當x>0時，f(x)<0.
後半部dao分也一樣，後半部分相當於證明：2(1+x)ln(1+x)回g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x²-2x
g(0)=0,g(x)'=2[ln(1+x)-x],只需證明當x>0時g(x)'<0,不過這時還看不出來，而g(0)'=0,再求一次導數得：g(x)"/2=1/(1+x)-x，顯然當答x>0時，g(x)"<0，從而得證。
高數中值定理證明題？
12樓：匿名使用者
一、數列極限的證明
數列極限的證明是數
一、二的重點，特別是數二最近幾年回考的非常頻繁，已經考過答好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數列極限的證明，用到的方法是單調有界準則。
二、微分中值定理的相關證明
微分中值定理的證明題歷來是考研的重難點，其考試特點是綜合性強，涉及到知識面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：
1.零點定理和介質定理;
2.微分中值定理;
包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導數的相關問題，考查頻率底，所以以前兩個定理為主。
3.微分中值定理
積分中值定理的作用是為了去掉積分符號。
在考查的時候，一般會把三類定理兩兩結合起來進行考查，所以要總結到現在為止，所考查的題型。
三、方程根的問題
包括方程根唯一和方程根的個數的討論。
四、不等式的證明
五、定積分等式和不等式的證明
主要涉及的方法有微分學的方法：常數變異法;積分學的方法：換元法和分佈積分法。
六、積分與路徑無關的五個等價條件
高數不等式證明
證 1 設 f x x arctanx f x 1 1 1 x 令 f x 0，即 1 1 1 x 01 1 x 1 1 x 1 x 0 解得 x 0，有 當x 0時，f x 為單調增函式。f 0 0 arctan0 0 即 當x 0時，有f x 0。故 x arctanx 0 即 arctanx ...
高數，證明不等式都有哪些方法，高數中用來證明不等式的方法都有哪些
一 假設證明fx 解 令fx fx gx，對fx求導，得到fx的單調性，再求一次極限得到fx的符號，就證明完畢了。如果一階導看不出來，就求二階導，然後得到一階導的單調性，通過極限得知一階導的符號。二 建構函式 例如證明a的b次 魏琬漆棠華 高數證明不等式的方法確如樓上所說.而用初等數學證明不等式,特...
高數證明題證明不等式當gt0時，高數證明題 證明不等式 當x 0時，e x 1 x x 2。
玲玲的湖 證明 當x 0時,成立不等式x 1 x 證明 設y x 1 x arctanx,由於y 1 x 2x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 2x 1 x 0,故y是減函式 當x 0時,y 0 當x 0時必有y 0 即不等式x 1 x 0時成立 再設u ar...