1樓：匿名使用者
不等式證明知識概要
河北/趙春祥
不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。
一、要點精析
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：
①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：
根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈r+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：
①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。
應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關係為：
ab1 b2 b3… bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明ab的邏輯關係為：
bb1b1 b3 … bna，書寫的模式是：為了證明命題b成立，只需證明命題b1為真，從而有…，這隻需證明b2為真，從而又有…，……這隻需證明a為真，而已知a為真，故b必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式a>b，先假設a≤b，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定a>b。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。
(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數列示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：
①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知，可設x=taaa，y=tanb，z=tanc，其中a+b+c=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式a (1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 二、難點突破 1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。 2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。 而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。 還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。 3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的範圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。 用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。 4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以匯出矛盾。 5.在三角換元中，由於已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。 6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。 （摘自：《考試報·高二數學版》2023年/07月/20日） 1、比較法（作差法） 在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。 變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求證： 。 證明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。 例2、求證： 。 證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。 3、綜合法 證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。 例3、已知： ， 同號，求證： 。 證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。 4、作商法（作比法） 在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。 例4、設 ，求證： 。 證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。 5、反證法 先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的。 例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。 證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。 例6、已知： ， ，求證： 。 證明：因為 ， ， 所以 ， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式獲證。 7、放縮法（增減法、加強不等式法） 在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為： 改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。 例7、求證： 。 證明：令 ，則 ， 所以 。 8、數學歸納法 對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。 例8、已知： ， ， ，求證： 。 證明：（1）當 時， ，不等式成立； （2）若 時， 成立，則 = ，即 成立。 根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。 9、換元法 在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。 例9、已知： ，求證： 。 證明：設 ， ，則 ， （因為 ， ）， 所以 。 10、三角代換法 藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。 例10、已知： ， ，求證： 。 證明：設 ，則 ；設 ，則 所以 。 11、判別式法 通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值範圍，來證明所要證明的不等式。 例11、設 ，且 ，求證： 。 證明：設 ，則 代入 中得 ，即 因為 ， ，所以 ，即 ， 解得 ，故 。 12、標準化法 形如 的函式，其中 ，且 為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即 。 標準化定理：當a+b為常數時，有 。 證明：記a+b=c，則 ， 求導得 ，由 得c=2a，即a=b 又由 知 的極大值點必在a=b時取得 由於當a=b時， ，故得不等式。 同理，可推廣到關於 個變元的情形。 例12、設a，b，c為三角形的三內角，求證： 。 證明：由標準化定理得，當a=b=c時， ，取最大值 ，故 。 13、等式法 應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。 例13（2023年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證： 。 證明：由海**式 ， 其中 。 兩邊平方，移項整理得 而 ，所以 。 14、函式極值法 通過變換，把某些問題歸納為求函式的極值，達到證明不等式的目的。 例14、設 ，求證： 。 證明：當 時， 取最大值 ； 當 時， 取最小值－4。 故 。15、單調函式法 當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。 例15、 ，求證： 。 證明：當 時， ，而 故得 。 16、中值定理法 利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函式，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。 例16、求證： 。 證明：設 ，則 故 。17、分解法 按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使複雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。 例17、 ，且 ，求證： 。 證明：因為 所以 。 18、構造法 在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函式、恆等式、複數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。 例18、已知： ， ，求證： 。 證明：依題設，構造複數 ， ，則 ， 所以 故 。 19、排序法 利用排序不等式來證明某些不等式。 排序不等式：設 ， ，則有 ，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。 簡記作：反序和 亂序和 同序和。 例19、求證： 。 證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。 20、幾何法 藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。 例20、已知： ，且 ，求證： 。 證明：以 為斜邊， 為直角邊作 延長ab至d，使 ，延長ac至e，使 ，過c作ad的平行線交de於f，則 ∽ ，令 ， 所以 又 ，即 ，所以 。 另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（cauchy）不等式、琴生（jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（j.bernoulli）不等式、赫爾德（o.hölder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（h. minkowski）不等式等，這裡不再煩述了。 在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。 參考文獻 [1]李玉琪主編•初等代數研究•北京：中國礦業大學出版社，1993 [2]方初寶等編•數學猜想法**•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988 [3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983 數軸上，圖形結合法。1 x到2m的距離小於到0的距離，分類討論 m 0時，得解x m m 0時，x 2 類似上題思想方法。x到 1的距離比到m 2的距離 x 1 1,1 2 1 2,2 2，四段討論。對比已知找到界點值，從而得到方程 a 2a 3 a 3 1, 捂尺之師祖 1 m 0 不等式解為 x... 1.1 x 1 y 1 1 x 1 y x 2y 1 x 1 y 1 2 2y x x y 3 2y x x y 平均值不等式 3 2 2y x x y 3 2 2 取等號時2y x x y x 2y 代入x 2y 1解得x 2 1 y 2 2 22.x 3y 5xy 1 y 3 x 5.5 3x ... 由ax 2 bx c 0解集為 2,3 可以知道a 0不等式兩邊同時除以a得到 x 2 bx a c a 0由解集為 2,3 可以得到不等式 x 2 x 3 0即 x 2 5x 6 0 所以 b a 5,c a 6 即 b 5a,c 6a代入不等式cx 2 bx a 0 得到 6ax 2 5ax a...高中數學不等式，高中數學不等式八條性質定理
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