1樓：網友
柯西不等式：ai,bi∈r，求證：(a1^2+a2^2+..an^2)*(b1^2+b2^2+..bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+..an*bn)^2.
我覺得比較簡單的方法就是構造法，構造n維向量：α=a1,a2,..an)，βb1,b2,..bn).
則 √(a1^2+a2^2+..an^2)*√b1^2+b2^2+..bn^2)=|cos<α,a1*b1+a2*b2+..an*bn.
兩邊同時平方得：(a1^2+a2^2+..an^2)*(b1^2+b2^2+..bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+..an*bn)^2.
還有很多其他方法：數形結合法：
柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有。
ai^2) *bi^2) ≥ai * bi)^2.
我們令。f(x) =ai + x * bi)^2
bi^2) *x^2 + 2 * ai * bi) *x + ai^2)
則我們知道恆有。
f(x) ≥0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有。
4 * ai * bi)^2 - 4 * ai^2) *bi^2) ≤0.
於是移項得到結論。
除此還有作差法。等等。
2樓：九雅蕊波溥
如樓上所說，作輔助二次函式可以證明。
其實更簡單的，用向量來證。
m=(a1,a2...an)
n=(b1,b2...bn)
mn=a1b1+a2b2+..anbn=(a1^+a2^+.an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於0，所以：
a1b1+a2b2+..anbn小於等於a1^+a2^+.an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式證明方法是什麼？
3樓：皮蛋聊三農
柯西不等式：ai,bi∈r，求證：(a1^2+a2^2+..
an^2)*(b1^2+b2^2+..bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+..an*bn)^2。
柯西不等式是由大數學家柯西(cauchy)在研究數學分析中的「流數」問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作cauchy-buniakowsky-schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。
柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。
柯西（cauchy augustin-louis，1789－1857），法國數學家，2023年8月21日生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的**，在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。
柯西不等式證明是什麼？
4樓：98聊教育
柯西不等式的證明就是：
記兩列數分別是ai，bi，則有(∑ai^2)*(bi^2)≥(ai*bi)^2。
令f(x)=∑ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)，則恆有f(x)≥0。
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(bi^2)≤0，於是移項得到結論。
柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。
據說，法國科學院《會刊》創刊的時候，由於柯西的作品實在太多，以致於科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定**最長的只能夠到四頁。柯西較長的**因而只得投稿到其它地方。
柯西不等式證明是什麼？
怎麼證明柯西不等式
5樓：天然槑
n元柯西不等式：
a1^2+a2^2+..an^2）(b1^2+b2^2+..bn^2)》(a1b1+a2b2+..anbn)^2
等號當且僅當a1:b1=a2:b2=..an:bn
證明：考慮t的二次函式。
f(t)=（a1^2+a2^2+..an^2）t^2-2(a1b1+a2b2+..anbn)t+(b1^2+b2^2+..bn^2)
a1*t-b1)^2 + a2*t-b2)^2 +.an*t-bn)^2
故f(t)》0恆成立，且等號成立當且僅當a1:b1=a2:b2=..an:bn（bi=0時，必有ai=0,實則為n-1元柯西不等式）
故判別式=4(a1b1+a2b2+..anbn)^2- 4(a1^2+a2^2+..an^2）(b1^2+b2^2+..bn^2)《0
從而知柯西不等式成立。
柯西不等式如何證明？
6樓：匿名使用者
證明： 當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立 令a=∑ai^2 b=∑ai·bi c=∑bi^2 當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知a>0 構造二次函式f(x)=ax^2+2bx+c，（請注意，一次項係數是2b，不是b）得： f(x)=∑ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ai·x+bi)^2≥0 故f(x)的判別式△=4b^2－4ac≤0， （請大家注意：
一元二次方程ax^2+bx+c=0的判別式確實是△=b^2-4ac，但是這裡的方程ax^2+2bx+c = 0已經發生如下替換a = a，b = 2b，c = c，這裡面b已經換成了2b，因而導致很多網友的誤解。此步若錯，柯西不等式就無法證明了！） 移項得ac≥b^2，欲證不等式已得證。
柯西不等式有哪些推論及證明，柯西不等式的簡便證明方法？？
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