1樓：雪劍
f(x)在（負無窮，正無窮）有一階連續導數，且f(0)=0,存在f’’(0)
定義：f(x)=f(x)/x,(x不等於0)
f(x)=f’(0),(x等於0)
證明：f’(x)在（負無窮，正無窮）上連續。
你在證明中的疑問：一個函式在一點可導，是否可以推出函式在該點的某個鄰域是可導的。
答：這是不一定的。
“題目中說了存在f''(0),也就是說f'(x)在x=0可導，那麼f'(x)在x=0連續，那麼應該存在x=0的一個鄰域，使得f'(x)在這個鄰域內可導”。前半部分是對的，對於一元函式來說，函式在一點可導，一定可以推出連續。但在一點連續，並不能推出函式能夠在一個鄰域也是可導的。
樓上那個例子可行，可以證明問題。我自己也弄了一個反例：
g(x)=-x^2,（x屬於無理數）
g(x)=x^2,(x屬於有理數)
你可以根據定義證明一下：該函式在點x=0是可導的。
因為：lim(x->0)(g(x)-g(0)/x = 0 =g(0)
但是他沒有在這點的某個鄰域是可導的。其在除0之外的其他點都不可導。
注意：這種情況在複變函式中卻是可以推出來的。
對於題目的證明：
f’(x)=(xf’(x)-f(x))/x^2,x不等於0
f’(x)=f’’(0)/2,x等於0
證明：lim(x->0)f’(x)=f’(0)
不能用羅比達法則，可以這樣：
[xf’(x)-xf’(0)+xf’(0)-f(x)]/x^2 加一項減一項，利用題目中f’’(0)存在來求解。
題目有解析答案，不詳了。
2樓：匿名使用者
你的問題可以表述成：如果連續函式在某一點可導，是否一定在某個鄰域可導。
這是錯的，但反例需要等學到微積分靠後的函式項級數部分時才能構造。那裡會證明weierstrass函式：w(x)=∑ (1/2)^n cos(15^n π x)滿足條件：
有界，處處連續但處處不可導。現在定義f(x)=x*w(x)，則
(1) f(x)處處連續，顯然；
(2) f(x)在x=0處可導，因為f(0)=0，而f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/(x-0)=lim f(x)/x=lim w(x)=w(0)=1；
(3) f(x)在x≠0處均不可導，否則將得到w(x)=f(x)/x可導，與w(x)的性質矛盾
3樓：匿名使用者
f''(0)存在，證明f'(0)連續，
但連續不一定可導
比如說分段函式函式
f'(x)=x x大於等於0 f'(x)=-x x小於0此函式在x=0是連續的，但不可導
求這四個極限，用洛必達法則。利用洛必達法則求極限。
為簡便計算，常可將某些因式用等價無窮小代替，如e x 1 x 打字不便，將lim下的變數趨勢省略 原極限式 limx 2 1 cosx 分子用等價無窮小代替。lim2x sinx 羅比達法則。原極限式 lim ln tanx lnx 用倒數關係將分子變為正切式。lim 1 tanxcos 2 x 1...
洛必達法則是怎麼推出來的，什麼是洛必達法則？怎麼運用？
如果當 或 時，兩個函式與都趨於零或都趨於無窮大，那末極限可能存在 也可能不存在，通常把這種極限叫做不定式，並分別簡記為或 對於不定式，即使它的極限存在，也不能用 商的極限等於極限的商 這一法則來求 為此，我們介紹一種求不定式極限的重要方法，這就是洛必達法則 1 型不定式 定理3 洛必達法則1 設函...
大一高數題（洛必達法則），求高數的洛必達法則！公式及例題！大一的！
最後結果是 e 2 本人用了積分中值定理並結合泰勒公式做了，也挺簡單的，就不打了！ 低調 把 1 x 1 x 化成e ln 1 x 1 x e 1 x ln 1 x 則原式分子為e e 1 x ln 1 x 1 1 e 1 x ln 1 x 1 上面用了等價無窮小代換 lim x趨於0 1 x 1 ...