等積的向量證明方法
1樓：清玥雪
三維向量外積（即矢積、叉積）可以用幾何方法證明；也可以借用外積的反對稱性、內積的分配律和混合積性質，以代數方法證明。
下面把向量外積定義為：
a × b = a|·|b|·sin.
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數方法。我們假定已經知道了：
1）外積的反對稱性：
a × b = b × a.
這由外積的定義是顯然的。
2）內積（即數積、點積）的分配律：
a·(b + c) =a·b + a·c,a + b)·c = a·c + b·c.
這由內積的定義a·b = a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。
3）混合積的性質：
定義(a×b)·c為向量a, b, c的混合積，容易證明：
i) (a×b)·c的絕對值正是以a, b, c為三條鄰稜的平行六面體的體積，其正負號由a, b, c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
從而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i)還可以推出：
iii) (a, b, c) =b, c, a) =c, a, b)
我們還有下面的一條顯然的結論：
iv) 若乙個向量a同時垂直於三個不共面矢a1, a2, a3，則a必為零向量。
下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。
設r為空間任意向量，在r·(a×(b + c))裡，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數積分配律2)，就有。
r·(a×(b + c))
r×a)·(b + c)
r×a)·b + r×a)·c
r·(a×b) +r·(a×c)
r·(a×b + a×c)
移項，再利用數積分配律，得。
r·(a×(b + c) -a×b + a×c)) 0
這說明向量a×(b + c) -a×b + a×c)垂直於任意乙個向量。按3)的iv)，這個向量必為零向量，即。
a×(b + c) -a×b + a×c) =0
所以有。a×(b + c) =a×b + a×c.
高等數學裡為什麼用向量積求法向量？
2樓：
向量積的定義中有，c=a×b
則c垂直於a，b所在的平面，(即c平行於平面的法向量)所以，我們常用向量積來求與兩個向量同時垂直的向量(主要是法向量和直線的方向向量)
向量的數量積有哪些等價表述？
3樓：子不語望長安
x1*x2+y1*y2=0和|a|*|b|*cos（a與b的夾角）=0。
一、幾何角度關係：
向量a=（灶公升攔x1，y1）與向量b=（x2,y2）垂直則有x1*x2+y1*y2=0
座標角度關係：
a與b的內積=|a|*|b|*cos（a與b的夾角）=0 二、證明：
幾何角度：向量a (x1,y1),長度 l1 =√x1²+y1²)
向量b (x2,y2),長度 l2 =√x2²+y2²)
x1,y1）到(x2,y2)的距離：d=√[x1 - x2)² y1 - y2)²]
兩個向量垂直，根據勾股定理：l1² +l2² =d²笑兄。
x1²+y1²) x2²+y2²) x1 - x2)² y1 - y2)²
x1² +y1² +x2² +y2² =x1² -2x1x2 + x2² +y1² -2y1y2 + y2²
0 = 2x1x2 - 2y1y2
x1x2 + y1y2 = 0
擴充套件到三維角度：x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,那麼向量(x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直。
綜述，對任意維度的兩個向隱胡量l1,l2垂直的充分必要條件是：l1×l2=0 成立。
如何用向量積證明正弦定理
4樓：宸蕁燦**
△abc為銳角三角形。
du，過點zhia作單位向量j垂直。
dao於向量ac，則j與向量ab的夾角。
回為答90°-a，j與向量cb的夾角為90°-c由圖1，ac+cb=ab(向量符號打不出)在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·（ac+cb）=j·ab
j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)=│j││ab│cos(90°-a)
asinc=csina （ab的模=c，cos（90º-c）=sinc）（cb的模=a，cos（90º-a）=sina
a/sina=c/sinc
同理，過點c作與向量cb垂直的單位向量j，可得c/sinc=b/sinb
5樓：長瀨綿秋
|||作單位向bai
量j⊥acj(ac+cb)=jab
jac+jcb=jab
jcb=jab
ducb|cos(πzhi/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)
即|daocb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc
其餘專邊同理屬。
向量積的表示式是什麼？
6樓：匿名使用者
向量積（也稱叉積）是兩個三維向量的一種二元運算，其結果做槐是另乙個向量。假設有兩個向量$\vec$和$\vec$，則它們的向量積$\vec$的表示式為：
其中，$\vec, \vec, \vec$分別是$x, y, z$軸方向的單位向量，$a_1, a_2, a_3$是向量$\vec$在$x, y, z$方向的分量，$b_1, b_2, b_3$是向帶晌量$\vec$在$x, y, z$方向的分量。
向量積的結果是另乙個向量蠢胡鋒，其方向垂直於原來的兩個向量，大小等於這兩個向量所圍成的平行四邊形的面積。
7樓：夢色十年
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin即c的長度歷頃在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。而c的喚絕方向垂直肢鏈陸於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
乙個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從以不超過180度的轉角轉向時，豎起的大拇指指向是的方向。由於向量的叉積由座標系確定，所以其結果被稱為偽向量。
向量積公式？
8樓：勤謹且清麗丶不倒翁
向量積公式向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin向量相乘分內積和外積。
內積 ab=丨a丨丨b丨cosα（內積無方向，叫點乘）外積 a×b=丨a丨丨b丨sinα（外積有方向，叫×乘）那個讀差，即差乘，方便表達所以用差。
另外 外積可以表示以a、b為邊的平行四邊形的面積。
兩向量的模的乘積×cos夾角。
橫座標乘積+縱座標乘積。
代數規則。1、反交換律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、與標量乘法相容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的r3構成了乙個李代數。
6、兩個非零向量a和b平行，若且唯若a×b=0。
向量積不等式
9樓：霍睿揭春海
p*q=|p|*|q|*cos
p*q|=|p|*|q|*|cos|
又∵0≤派慎宴|cos|≤1
p*q|≤|p|*|q|
以上p,q都是塵銀孝餘向量。
數學向量證明
10樓：網友
成立，當向量a.向量b.向量c所成角為0度。
於是b=ma,c=na，乎拆且m,n>0,，因此。
左邊=|a+b+c|=|a+ma+na|=|1+m+n)a|=(1+m+n)|a|
右昌頃中耐山邊=|a|+|b|+|c|=|a|+|ma|+|na|=|a|+m|a|+n|a|
由數乘的分配率，於是左邊=右邊。
因此命題成立。
11樓：網友
不成立 因為有正負。
當同向時 等號成立。
當不同向時存在多種不成立情況。
高數.怎麼用向量的向量積證明正弦定理
12樓：網友
△abc為銳角三角形，過點a作單位向量j垂直於向量ac，則j與向量ab的夾角為90°
a，j與向量cb的夾角為90°-c
由圖1，ac+cb=ab(向量符號打不出)在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·（ac+cb）=j·ab
j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)=│j││ab│cos(90°-a)
asinc=csina （ab的模=c，cos（90º-c）=sinc）（cb的模=a，cos（90º-a）=sina
a/sina=c/sinc
同理，過點c作與向量cb垂直的單位向量j，可得c/sinc=b/sinb
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