1樓：匿名使用者
lim(n→∞) (1 + 2^n + 3^n)^(1/n)
= e^lim(n→∞) [ln(1 + 2^n + 3^n)]/n
= e^lim(n→∞) [(2^n)ln2 + (3^n)ln3]/(1 + 2^n + 3^n)
= e^lim(n→∞) [(2/3)^n·ln2 + ln3]/[1/3^n + (2/3)^n + 1]
= e^[(0·ln2 + ln3)/(0 + 0 + 1)]
= e^(ln3)
= 3∫(0→π) sin⁶(x/2) dx、y = x/2、dy = dx/2
= 2∫(0→π/2) sin⁶y dy
= 2·5!!/6!!·π/2、wallis公式
= 2·(5·3·1)/(6·4·2)·π/2
= 5π/16
另解：sin⁶y = (sin²y)³ = [(1 - cos2y)/2]³
= (1/8)(1 - 3cos2y + 3cos²2y - cos³2y)
= 1/8 - (3/8)cos2y + (3/8)[(1 + cos4y)/2] - (1/8)cos²2y·cos2y
= 5/16 - (3/8)cos2y + (3/16)cos4y - (1/8)[(1 + cos4y)/2]·cos2y
= 5/16 - (3/8)cos2y + (3/16)cos4y - (1/16)(1 + cos4y)cos2y
= 5/16 - (3/8)cos2y + (3/16)cos4y - (1/16)cos2y - (1/16)cos4ycos2y
= 5/16 - (7/16)cos2y + (3/16)cos4y - (1/16)(1/2)(cos6y + cos2y)
= 5/16 - (15/32)cos2y + (3/16)cos4y - (1/32)cos6y
∫(0→π/2) sin⁶(x/2) dx
= 2∫(0→π/2) sin⁶y dy
= 2∫(0→π/2) [5/16 - (15/32)cos2y + (3/16)cos4y - (1/32)cos6y] dy
= 2·5/16·π/2 - (15/32)(1/2)sin2y + (3/16)(1/4)sin4y - (1/32)(1/6)siny |(0→π/2)
= 5π/16
2樓：匿名使用者
、當n→∞時，lim [(1+2^n+3^n)^(1/n)]=lim e^[(1/n)ln(1+2^n+3^n)]
因為(1/n)ln(1+2^n+3^n)滿足∞/∞型，所以根據l'hospital法則，有
lim e^[(1/n)ln(1+2^n+3^n)]=e^lim[(2^nln2+3^nln3)/(1+2^n+3^n)]=e^lim=e^ln3=3
lim(n趨於無窮大)(1+2^n+3^n)^(1/n)
3樓：等待楓葉
lim(n趨於無窮大)(1+2^n+3^n)^(1/n)的極限值等於3。
解：因為3^n＜62616964757a686964616fe58685e5aeb9313334313566301+2^n+3^n＜3*3^n=3^(n+1)，
那麼(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜(3^(n+1))^(1/n)，
即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^((n+1)/n)。
又因為lim(x→∞)3^((n+1)/n)=3^1=3。
即當n→∞時，3＜lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3
那麼根據夾逼定理可得，lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)=3。
擴充套件資料：
1、夾逼定理及其應用
（1）若函式a>b,函式b>c，函式a的極限是x，函式c的極限也是x ，那麼函式b的極限就一定是x。
（2）設，為收斂數列，且當n趨於無窮大時，數列，的極限均為a。
若存在n，使得當n>n時，都有xn≤yn≤zn，則數列收斂，且極限為a。
2、極限的重要公式
（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此當x趨於0時，sinx等價於x。
（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。
（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此當x趨於0時，e^x-1等價於x。
3、極限運演算法則
令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=a，limg(x)=b，那麼
（1）加減運演算法則
lim(f(x)±g(x))=a±b
（2）乘數運演算法則
lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a為已知的常數。
4樓：匿名使用者
夾逼定理
lim [n^2/(n+n^2)]《原極限 且lim [n^2/(n+n^2)]=lim [n^2/(1+n^2)]=1 所以原極限=1 5樓： ^這個du需要使用夾逼準則來zhi求解： 因為： 1/(n + n^dao2) ≤ 1/(m + n^2) ≤1/(1 + n^2)，專 1 ≤ m ≤ n 所以：屬 n * 1/(n + n^2) = n/(n + n^2) ≤∑1/(m + n^2) ≤ n * 1/(1 + n^2) = n/(1 + n^2) 由於：lim n * n/(n + n^2) = lim n^2/(n + n^2) = lim 1/(1 + 1/n) = 1 lim n * n/(1 + n^2) = lim n^2/(1 + n^2) = lim 1/(1 + 1/n^2) = 1 因此，lim n*∑(1/(m + n^2) = 1 6樓：掃黃大隊長 解1：n->無窮 3^n<(1+2^n+3^n)<3*3^nlim (3^n)^(1/n)=3且lim (3*3^n)^(1/n)=3 由夾逼準則知lim(1+2^n+3^n)^(1/n)=3 鄭昌林 1.沒看明白 2.當n m時，xn xm sin m 1 2 m 1 sin m 2 2 m 2 sinn 2 n 1 2 m 1 1 2 m 2 1 2 n 1 2 m 1 1 2 n m 1 2 m，由於lim m 1 2 m 0，故對任意正數 存在正整數n，當n m n時，xn xm ... 花降如雪秋風錘 將分式的平方後可得 2n 1 2 n 2 2n 4n 2 8n 1 n 2 2n 4 8 n 1 n 2 1 2 n 當n趨近正無窮時，1 n 0，1 n 2 0，所以平方後的極限值等於4。因為n為趨近正無窮，平方前的分式的極限值等於 4 2 小貝貝老師 解原式 lim x ln x... 假面 計算過程如下 0 2n 1 2n 2 1 3 3 5 5 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 2 4 4 2n 2n 1 3 2 2 3 5 4 4 5 7 6 6 n 1 n 1 n 2 2n 1 因為 k 1 k 1 k 2 1所以 1 2n 1 0 n 時 所以lim ...求lim（n 無窮）（1 2 n 3 n）1 n是開n次方）證明Xn sin
求極限 lim n2n 1n，求極限 lim n 2n 1 n 2n
lim n趨於無窮 2n 12n求極限