1樓：匿名使用者
對於函式y=f（x），如果存在一個不為零的常數t，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+t）=f（x）都成立，那麼就把函式y=f（x）叫做周期函式，不為零的常數t叫做這個函式的週期。
周期函式性質：
（1）若t（≠0）是f(x)的週期，則-t也是f(x)的週期。
（2）若t（≠0）是f(x)的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f(x)的週期。
（3）若t1與t2都是f(x)的週期，則t1±t2也是f(x)的週期。
（4）若f(x)有最小正週期t*，那麼f(x)的任何正週期t一定是t*的正整數倍。
（5）t*是f(x)的最小正週期，且t1、t2分別是f(x)的兩個週期，則 （q是有理數集）
（6）若t1、t2是f(x)的兩個週期，且 是無理數，則f(x)不存在最小正週期。
（7）周期函式f(x)的定義域m必定是雙方無界的集合。 1、周期函式的定義及性質
定義：設f(x)是定義在數集m上的函式，如果存在非零常數t具有性質；
（1）對 有（x±t） ；
（2）對 有f（x+t）=f（x）
則稱f（x）是數集m上的周期函式，常數t稱為f（x）的一個週期。如果在所有正週期中有一個最小的，則稱它是函式f（x）的最小正週期。
由定義可得：周期函式f（x）的週期t是與x無關的非零常數，且周期函式不一定有最小正週期。
例1 常數值函式f（x）=c（c是常數）是實數集r上以任意非零實數為週期的周期函式。
狄利克萊函式d（x）= 是實數集上任意非零有理數為週期的周期函式。
由於正實數和正有理數都沒有最小的，因而它們都沒有最小正週期。
2、性質：
（1）若t（≠0）是f(x)的週期，則-t也是f(x)的週期。
（因f[x+(t-t)]=f[x+(-t)]= f(x)）。
因而周期函式必定有正週期。
（2）若t（≠0）是f(x)的週期，則nt（n為任意非零整數）也是f(x)的週期。
證：當n＞0時，f(x+nt)=f[x+(n-1)t+t]=f[x+(n-1)t]=……
=f（x+t）= f(x)。
當n＜0時，∵-n＞0，由前證和性質1可得：
nt=-（-nt）是f(x)的週期。∴當n為任意非零整數時命題成立。
（3）若t1與t2都是f(x)的週期，則t1±t2也是f(x)的週期。（因f[x+（t1±t2）]=f（x+t1）= f(x)）。
（4）、如果f(x)有最小正週期t*，那麼f(x)的任何正週期t一定是t*的正整數倍。否則必存在n1r z+（z+為正整數）使t=n1t*+r（0＜r＜t*），則對 （f(x)的定義域）有f(x)=f（x+t）=f＝（x+n1t*+r）=f（x+r），∴r也是f(x)的正週期，與t*是f(x)的最小正週期矛盾。∴t必是t*的正整數倍。
（5）t*是f(x)的最小正週期，且t1、t2分別是f(x)的兩個週期，則 （q是有理數集）
證：據條件和性質4知，存在k1、k2 z，使t1=k1t*，t2=k2t*，∴ 。
（6）若t1、t2是f(x)的兩個週期，且 是無理數，則f(x)不存在最小正週期。（用反證法據性質5即可證得）。
（7）周期函式f(x)的定義域m必定是雙方無界的集合。
證：若t是f(x)的週期，則nt（n ，n≠0）也是f(x)的週期，∴ 有x±nt m，∴m雙方無界，但並非m必定（-∞、+∞），如tgx和ctgx的定義域分別為x≠kπ+π/2和x≠kπ（k ）。
例2：f(x)=sinx（ ≤10π）不是周期函式。
3、周期函式的判定
定理1 若f(x)是在集m上以t*為最小正週期的周期函式則k f(x)+c（k≠0）和1/ f(x)分別是集m和集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。
證：∵t*是f(x)的週期，∴對 有x±t* 且f(x+t*)= f(x)，∴k f(x)+c=k f(x+t*)+c，∴k f(x)+c也是m上以t*為週期的周期函式。
假設t* 不是kf(x)+c的最小正週期，則必存在t』（ 0＜t』＜t*）是k f(x)+c的週期，則對 ，有k f(x+t』)+c=k f(x) +c k[f(x+t』)- f(x)]=0，∵k≠0，∴f(x+t』)- f(x)=0，∴f(x+t』)= f(x)，∴t』是f(x)的週期，與t*是f(x)的最小正週期矛盾，∴t*也是k f(x)+c的最小正週期。
同理可證1/ f(x)是集｛x/ f(x) ≠0，x ｝上的以t*為最小正週期的周期函式。
定理2：若f(x)是集m上以t*為最小正週期的周期函式，則f(ax+n)是集｛x/ax+ b ｝上的以t*/ 為最小正週期的周期函式，（其中a、b為常數）。
證：（先證 是f(ax+b)的週期），∵t*是f(x)的週期，∴ ，有x±t*∈m，∴a（x± ）+b=ax+b±t*∈m，且f[a（x+ ）+b]=f（ax+b±t*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的週期。
再證 是f（ax+b）的最小正週期
假設存在t』（0＜t』＜ ）是f（ax+b）的週期，則f（a（x+t』）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+at』）=f（ax+b），因當x取遍｛x/x∈m,ax+b∈m｝的各數時,ax+b就取遍m所有的各數，∴at』是f(x)的週期，但 ＜ =t*這與t*是f(x)的最小正週期矛盾。
定理3：設f(u)是定義在集m上的函式u=g（x）是集m1上的周期函式，且當x∈m1時，g(x)∈m，則複合函式f(g(x))是m1上的周期函式。
證：設t是u=g(x)的週期，則 1有（x±t）∈m1且g（x+t）=g(x) ∴f(g(x+t))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是m1上的周期函式。
例3 設=f(u)=u2是非周期函式，u= g(x)=cosx是實數集r上的周期函式，則f(g(x))=cos2x是r上的周期函式。
同理可得：（1）f(x)=sin(cosx)，（2）f(x)=sin(tgx)，（3）f(x)=sin2x，（4）f(n)=log2sinx(sinx＞0)也都是周期函式。
例4，f(n)=sinn是周期函式，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式，f(g(x))=sin(ax+b)是周期函式（中學數學中已證）。
例5，f(n)=cosn是周期函式，n=g(x)= （非周期函式）而f(g(x))=cos 是非周期函式。
證：假設cos 是周期函式，則存在t＞0使cos
（k∈z）
與定義中t是與x無關的常數矛盾，∴cos 不是周期函式。
由例4、例5說明，若f(u)是周期函式，u= g(x)是非周期函式，這時f(g(x))可能是，也可能不是周期函式。
定理4：設f1(x)、f2(x)都是集合m上的周期函式，t1、t2分別是它們的週期，若t1/t2∈q則它們的和差與積也是m上的周期函式，t1與t2的公倍 數為它們的週期。
證：設 （(p·q)=1）設t=t1q=t2p則有： 有（x±t）=（x±t1q）=（x±t2p）∈m，且f1(x+t) ±f2（x+t）= f1(x+t1q) ±f2（x+t2p）= f1(x)±f2(x) ∴f1(x) ±f2(x)是以t1和t2的公倍數t為週期的周期函式。
同理可證：f1(x) 、f2(x)是以t為週期的周期函式。
推論：設f1(x) 、f2(x)……fn(x) 是集m上的有限個周期函式t1、t2……tn分別是它們的週期，若， … （或t1，t2……tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函式之和、差、積也是m上的周期函式。
例6 ，f(x)=sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數2π為週期的周期函式。
例7，討論f(x)= 的週期性
解：2tg3 是以t1= 為最小正週期的周期函式。
5tg 是以t2 為最小正週期的周期函式。
tg2 是以t3= 為最小正週期的周期函式。
又 都是有理數
∴f(x)是以t1、t2、t3最小公倍數（t1、t2、t3）= 為最小正週期的周期函式。
同理可證：（1）f(x)=cos ;
(2) f(x)= ；
(3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函式。
定理5，設f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式的充要條件是a1/a2∈q。
證：先證充分性：
若a1/a2∈q，設t1、t2分別為f1(x)與f2(x)的最小正週期，則t1= 、t2= ，又 ∈q
由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函式。
再證必要性（僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明）。
（1）設sina1x-cosa2x為周期函式，則必存在常數t＞0，使sina1(x+t)-sina1x=cosa2(x+t)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin =
-2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ），則 （k∈z）。(2)
或 c∈z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）與（3），（4）與（5）都分別至少有一個成立。
由（3）、（5得 ）（6）
∴無論（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。
（2）設sinaxcosa2x為周期函式，則
是周期函式。
∴ ∴
例8 求證f(x)=sin x+cos x是非周期函式。
證：假設f(x)是周期函式，則 是無理數矛盾。∴f(x)是非周期函式。
4、非周期函式的判定
（1）若f(x)的定義域有界
例9，f(x)=cosx（ ≤10）不是周期函式。
（2）根據定義討論函式的週期性可知非零實數t在關係式f(x+t)= f(x)中是與x無關的，故討論時可通過解關於t的方程f(x+t)- f(x)=0，若能解出與x無關的非零常數t便可斷定函式f(x)是周期函式，若這樣的t不存在則f(x)為非周期函式，如例，f(x)=cos 是非周期函式（例5）。
（3）一般用反證法證明。（若f(x)是周期函式，推出矛盾，從而得出f(x)是非周期函式）。
例10 證f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函式。
證：假設f(x)=ax+b是周期函式，則存在t（≠0），使對 ，a（x+t）+b=ax+b ax+at-ax=0 at=0 又a≠0，∴t=0與t≠0矛盾，∴f(x)是非周期函式。
例11 證f(x)= 是非周期函式。
證：假設f(x)是周期函式，則必存在t（≠0）對 ，有(x+t)= f(x)，當x=0時，f(x)=0，但x+t≠0, ∴f(x+t)=1，∴f(x+t) ≠f(x)與f(x+t)= f(x)矛盾，∴f(x)是非周期函式。
例12 證f(x)=sinx2是非周期函式
證：若f(x)= sinx2是周期函式，則存在t（＞0），使對 ，有sin(x+t)2=sinx2，取x=0有sint2=sin0=0，∴t2=kπ（k∈z），又取x= t有sin( t+t)2=sin（ t）2=sin2kπ=0，∴( +1)2
t2=lπ(l∈z+)，∴
與3+2 是無理數矛盾，∴f(x)=sinx2是非周期函式。
例13 證f(x)=cos(lgx)為非周期函式
證：若f(x)=cos(lgx)是周期函式，則必存在t（＞0）使對 ＞0有cos[lg(x+t)]=cos(lgx),當x=t時，cos(lg2t)=cos(lgt)，當x=2t時，有cos(lg3t)=cos(lg2t)=cos(lgt)……，當x=9t時有cos(lg10t)=cos(lg9t)=cos(lg8t)=……cos(lgt) ∴cos(lgt)=cos(lg10t)=cos(1+lgt)=cos1cos(lgt)-sin1sin(lgt)
∴ 同理可得當x=99t時有cos(lgt)=
∴ =若sin(lgt)≠0時，有
∴cos1-cos21=sin21
∴cos1=1 顯然不成立。
又若sin(lgt)=0 則lgt=kπ ∴cos(lgt)=±1
cos(lg10t)=cos(1+lgt)=cos1cos(lgt)-sin1sin(lgt)=cos1=±1同樣不成立 ∴cos(lgx)是非周期函式。
證法2： ∵cos(lgx)的定義域為x＞0，不是雙方無界集合，由性質可知cos(lgx)不是周期函式。
類似的還可證f(x)=cos(arc cosx)為非周期函式。
參考文獻：
[1] 人民教育出版社中學數學室編，高階中學課本、代數上冊 1990.10
[2] 曾建國、談談周期函式。中學數學教學參考 1999.4
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