1樓：鬼王囈語
證明：做子群h在g上的群作用：對任何一個 ，h*x= 。
從而|h*a| =|h：stab（a）|，這就表明全體形如hah^-1 的元素的個數必然是整除|h| 。
2樓：
1、證：
x^3 = e，則x為1階元素（即e本身）或3階元素。
若x = e，則這樣的x唯一。
若為g的3階元素，則知x ≠ x^2，且二者均為g的3階元素，從而g的3階元素都成對出現。
再注意到g中元素生成的迴圈群互不相交，則若x ≠ y均為g的三階元，x^2 ≠ y，則它們屬於不同的迴圈群，即x^n ≠ y（任意n）。這保證了成對出現的3階元素互不相交。
綜上，g中使x^3 = e的元素個數為奇數（1個e加上偶數個3階元）。
2、存在。有點像四元數中i、j、k的運算，對集合g = ，定義乘法ea = a，eb = b，ec = c，a^2 = b^2 = c^2 = e^2 = e，ab = c，bc = a，ac = b，乘法可交換。則易驗證g是交接群，子群
、、覆蓋g。
3、aut(q) = 。
證：不難看出，若f是q的同態，則
f(0) = f(0) + f(0)，從而f(0) = 0。
記f(1) = q，則由數學歸納法易見對自然數f(n) = n q。
f(-n) + f(n) = f(0) = 0，從而f(-n) = - f(n) = - nq。
又歸納知 n f(x) = f(n x)，從而f(x) = f(n x) / n。（x是任意有理數）即對有理數m / n，有
f(m / n) = f(m) / n。
於是f((m/n) * y) = (m/n) * f(y)，對上式記x = m / n，並取定y = 1，則f(x) = x f(1) = x q。
由f是單同態，則ker f = ，從而q不為0。
容易驗證當q為有理數時，f 還是滿同態，從而是同構。
綜上，q的自同構就只有f(x) = q x（q不等於0）。
近世代數的幾個問題謝謝了，離散數學 近世代數部分的5個問題，高手進！
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