1樓：膠州白菜燉粉條
一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基
礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解
法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解為x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以
此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項係數化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當b2-4ac≥0時，x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項係數化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接開平方得：x-=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項
係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般
形式，同時應使二次項係數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式
法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母
取值的要求，必要時進行分類討論。
練習：（一）用適當的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列關於x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習參***：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試 選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。
a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數，一次項係數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個
根是（ ）。
a、0 b、1 c、-1 d、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。
a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0
c、b=0且c=0 d、c=0
5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。
a、-2，5 b、2，-5 c、2，5 d、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
a、 b、 c、 d、無實根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
a、x= b、x=-
c、x1=0.27, x2=-0.27 d、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。
a、(x-)2= b、(x- )2=-
c、(x- )2= d、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。
a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案：1.c 2.c 3.b 4.d 5.a 6.d 7.d 8.c 9.d
解析：1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,
注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。
2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1
時，方程成立，則必有根為x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，
則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.
另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！
5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。
7．分析：2x2=0.15
x2=x=±注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。
8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項係數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理為：(x-)2=
方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項係數-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
則(x-1)2=m+1.
中考解析
考題評析
1．（甘肅省）方程的根是（ ）
（a） （b） （c） 或 （d） 或
評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除a、b選項，再用驗證法在c、d選項中選出正確
選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項a、b是隻考慮了一方面忘記了一元
二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項d中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為
c。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（遼寧省）方程的根為（ ）
（a）0 （b）–1 （c）0，–1 （d）0，1
評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為c，而a、
b兩選項只有一個根。d選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
（a）x=3+2 （b）x=3-2
（c）x1=3+2 ,x2=3-2 （d）x1=3+2,x2=3-2
評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方
根，即可選出答案。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二
次的整式方程。 一般形式為
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它
的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次
方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中
之一。公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公
式。 在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種
不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次
給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的
數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。
韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出根與係數的關係。
我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學
家還在方程的研究中應用了內插法
解方程2x的平方 3x 3x的平方 2x
wyb吳奈 1 2x的平方 3x 3 的根式判別式 b 2 4ac 33 0，有實數解，用求根公式，x b b 2 4ac 1 2 2a得，方程得解為x1 3 根號33 4，x2 3 根號 33 4，2 方法一同一，方法二用十字相乘法x的平方 2x 1 25 既x 2 2x 24 x 6 x 4 0...
解方程2（x的平方） 8x ，解方程2 （x的平方） 8x
此題無法用十字相乘法分解方程左邊式子，故只能用公式法或配方法來解答2x 8x 7 0 解 a 2,b 8,c 7 b 4ac 120 x b 2a 8 120 2 2 8 2 30 4 x 2 30 2 配方法 解 2x 8x 7 0 原方程可變為 2 x 4x 7 2 0 2 x 2 4 7 2 ...
過點 4,0 的直線l與圓x的平方 y的平方 2x 4y 20 o交於A,B兩點已知AB的絕對值8則直線l的方程為
圓的方程為x y 2x 4y 20 0化為標準式為，x 1 y 2 25由題知 ab 8 設直線方程為a x 4 by 0 因為，半徑，ab 的一半 圓心到直線的距離d構成一個直角三角形 由勾股定理可得，d 5 8 2 3又由點到直線的距離，可得 d a 1 4 2b a b 所以，a 1 4 2b...