1樓：檀君博
你陷入了一種誤區，由於二重積分只有兩個變數，所以你誤認為二重積分是在二維座標系下的了。
實際上二重積分隱含了一個因變數，所謂的「二重積分積出來一個體積」這個說法就是基於因變數是三維座標系下z的座標得出的。
首先回想積分，∫ f(x)dx在數學上表示什麼含義？表示的是x在x等於某數例如x0的時候，f(x)可以得到確切的值，如果我們加入一個座標軸y,那我們就可以用(x0,f(x0))來表示一個點，並可以得到（x0,0）與(x0,f(x0))之間的連線。當給x不同的值的時候，一個x就對應一個y，明顯這條線也動了起來，然後就得到了一個平面，這個平面面積的大小就是積分的數值。
加上積分限以後無非是給x一個移動範圍而已。
然後看重積分，我們同樣給它加上一個座標軸，讓z=f(x,y)，那麼每一個x,y給它一個值都能算出來一個z，這樣(x,y,z)就能得到一個點，同樣的，我們也就能得到（x,y,f(x,y)）到(x,y,0)的連線，然後給x,y不同的值，並且給它們一個移動的範圍（就是積分限）讓這條線動起來，這條線取到所有可以積分限內的點，那就構成了一個立體，這個立體的體積就是積分算出來的數值。
我們只需要x的資訊就可以算出來f(x)在二維座標系下與x軸之間的面積，但是你絕對不可能簡單的只從一維座標系下考慮 ∫ f(x)dx，因為y的資訊實際上隱含了。同樣也不可能只通二維座標系下考慮二重積分，因為實際隱含了一個z座標軸的資訊。
至於算面積的話那就不是重積分的幾何意義了，那得引入新的東西，這個恐怕要等您高數學完才能解決了。
2樓：匿名使用者
一重積分算出來的是面積，
二重積分算出來的是體積了。
3樓：徐敏永遠
這種東西問你老師去，在這裡怎麼給你一下講的清楚。
二重積分能求的體積只是比較簡單的幾種圖形，年代久遠了忘記了。你還是問老師吧，不好意思問就先看書，問同學。實在不行就問老師，老師肯定會給你講的
計算二重積分∫d∫f(x,y)dxdy，其中f(x,y)=1/√(x^2+y^2)，d={(x,y)| 1＜|x|+|y|≤2}
化二重積分∫∫f(x,y)dxdy為極座標形式的二次積分,其中積分割槽域d為x²+y≤2x
4樓：匿名使用者
x=pcosθ,y=psinθ代入x²＋y²=2x,得p=2cosθ
即d:{0≤p≤2cosθ
{-π/2≤θ≤π/2
所以原式=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,2cosθ)f(pcosθ,psinθ)pdpdθ
5樓：匿名使用者
如果很不熟練的話，畫個圖就很容易得到積分限了；但是如果區域複雜，也許很難畫出圖來。所以參考下面無需作圖，直接確定積分限的通用方法：
對二重積分∫∫f(x,y)dxdy進行極座標變換並寫出變換後不同順序的累次積分; d={(x,y)|0≤x≤1,0≤x+y≤1}
6樓：匿名使用者
極座標下，先r後θ的形式更為常見，理解起來也更為容易，先θ後r的形式可以在前一種的基礎上用類直角座標法得出
先r後θ：
作出積分割槽域，從原點引射線穿過積分割槽域，交點為r的上限，具體如圖先θ後r：
在前一種的基礎上，以θ為橫座標，r為縱座標作出積分割槽域，觀察積分割槽域，可以分為a b c d四個部分。需要注意的是θ積分上下限的計算。個人認為，題主給出的答案，在最後一部分，θ的上限似乎有些問題，-arccos(1/4)
如圖，是我認為有問題的地方
將二重積分化為二次積分∫∫f(x,y)dxdy其中d是由y=x,y=x+1,x=0和x=1確定
7樓：匿名使用者
（1）∫∫
抄f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (先積分
襲y,再積分x) =∫dy∫f(x,y)dx+∫dy∫f(x,y)dx (先積分x,再積分y)；（2）∫∫f(x,y)dxdy=∫dy∫f(x,y)dx (先積分x,再積分y) =∫dx∫f(x,y)dy+∫dx∫f(x,y)dy (先積分y,再積分x).
二重積分是什麼
8樓：河傳楊穎
二重積分是二元函式在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。
平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
當被積函式大於零時，二重積分是柱體的體積。
當被積函式小於零時，二重積分是柱體體積負值。
擴充套件資料積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
9樓：橋樑abc也懂生活
1、二重積分是當被積函式在積分割槽域內是正數是,幾何意義是積分曲面與投影面所圍區域的體積,若有正有負則是正的區域部分體積減去負的區域部分的體積。
2、二重積分的定義：
設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域δδi(i=1,2,3,…,n)，並以δδi表示第i個子域的面積.在δδi上任取一點(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 σ(ξi,ηi)δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域d上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （σf(ξi,ηi)δδi）
這時,稱f(x,y)在d上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表示式,dδ稱為面積元素, d稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.
同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。
3、二重積分的性質：
性質1 （積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性質2 （積分滿足數成） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數）
性質1與性質2合稱為積分的線性性。
性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y),則∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推論 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區間d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積，
則mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦mσ
性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=1, σ為d的面積，則sσ=∫∫dσ
性質6 二重積分中值定理
設函式f(x,y)在有界閉區間d上連續，σ為區域的面積，則在d上至少存在一點（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
10樓：匿名使用者
本題要求f(x)在(a,b)上恆正（或恆負）左邊=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx積分變數可隨便換字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy這樣變成一個二重積分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：積分割槽域是a≤x≤b，a≤y≤b，這個區域具有輪換對稱性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 這裡用了個平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右邊證畢
11樓：匿名使用者
求二重積分
符號計算
syms x y; %定義兩個符號變數
a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %積分x,0,1 ,y,1,2
b=******(a) %化簡
c=vpa(b,4) %得到4位近似解，也可以任意n位解
數值計算
%%二重積分f= @(x,y)exp(sin(x))*ln(y)，y從5*x積分到x^2，x從10積分到20
1 (7.x後版本才有此函式quad2d)
y1=quad2d(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y),10,20,@(x)5*x,@(x)x.^2)
2 y2 =quadl(@(x) arrayfun(@(x) quadl(@(y)exp(sin(x)).*log(y),5*x,x.^2),x),10,20)
3 y3 = dblquad(@(x,y)exp(sin(x)).*log(y).*(y>=5*x & y<=x.^2),10,20,50,400)
12樓：匿名使用者
^記擺線為y=y(x)，則
∫∫ y²dxdy = ∫[0,2πa]dx∫[0,y(x)]y²dy
= (1/3)∫[0,2πa]y(x)^3dx= ……（按引數形式
做該定積分）。
13樓：匿名使用者
1、如果被積函式的量綱是長度單位，則二重積分為體積；
2、如果被積函式的量綱是pa，則二重積分的意義為計算總壓力；
3、如果被積函式的量綱是kg/m²，則二重積分的意義就是算總質量；
4、如果被積函式的量綱是c/m² ，則二重積分的意義就是算總電量；
結論：1、二重積分是否有意義，要看被積函式的量綱，由量綱決定是否有物理意義。
2、數學老師出題，一般不會考慮什麼物理模型、量綱，一般均無明確意義。
3、對於數學老師隨意出出來的二重積分題，籠統地講是算體積，其實是錯的。
4、被積函式如果是1，而且這個1不帶任何單位，那二重積分就是算總面積。
5、只要被積函式不是1，一般來說，二重積分沒有明確意義，只是亂積而已。
數學老師給出來的二重積分的題，一般都是為了練習、熟練積分而出的題，
不必認真，只是練習而已。如果你一旦認真起來，無論你的天賦多高，創
造力多強，無論數學老師多爛，都會罵你「鑽牛角尖」，「腦子有問題」。天才
就當成了白痴。
14樓：眾裡尋他千
這個類似於高中求解定積分求面積，只不過高中時微元是dx，就是長度的微元，大學裡是體積的微元dv=dx*dy*dz,本質沒有區別，即先微分後積分。舉個例子切豆腐，你想知道豆腐的體積，用到二重積分就應該是，先知道底面佔多大，上表面方程，然後切成棒狀，無限分割，最後求積分，基本就是這個過程。希望對你有用
高等數學二重積分，高數 二重積分
積分後會出現 i 1,1 dx 0,1 x 2 dy 1,1 1 x 2 dx 2 0,1 1 x 2 dx,令 x sint 2 0,2 cost 2dt 0,2 1 cos2t dt t 1 2 sin2t 0,2 2 我想學做漫畫 這個二重積分沒有問題。注意到 1 x 的不定積分 1 x dx...
考研數學二重積分怎麼求導，高等數學二重積分求導，如題，為什麼不能這樣做？
a羅網天下 例子 對t求導 d x arctanh y dy 假設 arctanh y dy f x 則可知 d x arctanh y dy f x dt 所以求導可知d f x dt dt f t arctanh y dy f x 則f t arctanh y dy 上限是f t 下限是0 所以...
高等數學，例4（利用極座標的二重積分求解）
前莊科教 首先極座標思路是對的，可知道你用極座標解題錯在哪了？存在積分割槽域，你認為它是圓了，實際上不是的，z面 是由xy 共同組成的線向z 積分組成的面，這個r 在動，不是固定的圓半徑。你細心品你的 dxy 到底是啥 極座標是 x cos y sin 則 r 2 x 2 r 2 cos 2 你錯為...