1樓：匿名使用者
設√（1-x^2）=u
得x^2=1-u^2,u∈[0,1]
y=-u^2+2au+a^2-6a+14
=-(u-a)^2+2a^2-6a+14
(1)a>1時 f(u)u∈[0,1]是增函式m=f(1)=a^2-4a+13
(2)a<0時 f(u)u∈[0,1]是減函式m=f(0)=a^2+6a+14
(3)0≤a≤1時
m=f(a)=2a^2-6a+14
y=logbm的最大值是-4/3
a>1時 m=a^2-4a+13=(a-2)^2+9∈[9,+∞]若y=logbm有最大值是-4/3
a 且y最大=logb9 logb9=-4/3 log9b=-3/4 b=9^(-3/4)=3^(-3/2) 存在常數b=3^(-3/2) 2樓： 解：三角代換： 考慮到x的定義域-1<=x<=1，不妨設：x=sint (-pi<=t<=pi) 於是對應cost：0<=cost<=1 則原方程化為： y= f(x) = (sint)^2+ 2a*cost +a^2-6a+13 = 1-(cost)^2+ 2a*cost+ a^2-6a+13 = -(cost-a)^2+ 2a^2-6a+14 （1）當 a<0 時，y(max)= f(cost=0)= a^2-6a+14 當0<=a<=1時，y(max)= f(cost=a)= 2a^2-6a+14 當 a>1 時，y(max)= f(cost=1)= a^2-4a+13 （2）存在b=1/(3*根號3)， 使當a在（1，+∞）上變動時，y=logbm的最大值是-4/3 分析：當a>1時，y(max)= f(cost=1)= a^2-4a+13= (a-2)^2+9 即真數m變化範圍[9，+∞) 依題意，若y=logbm存在最大值-4/3，則必有： 0 即：b^(-4/3)=9 或：b= 9^(-3/4)= 1/(3*根號3) 應該沒有問題~ 3樓： y=x^2+2a√（1-x^2）+a^2-6a+13方程圖象開口向上且1-x^2>=0 x<=1或x>=-1 當x=1或x=-1代入方程 y=1+a^2-6a+13 y=(a-3)^2+5為最大值m m>0因為m>0,所以存在正常數b,y=logbm有-4/3 4樓： 由asinx+bcosx=0得sinx=(-b/a)cosx,代入asin2x+bcos2x-c=0得 2a(-b/a)(cosx)^2+b[2(cosx)^2-1]-c=0 即(cosx)^2=a(b+c)/(2ab-2ba)。令(b+c)/(2ab-2ba)=y則有(cosx)^2=ay (sinx)^2=根號(1-ay) 兩邊平方asinx+bcosx=0得a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2+2absinxcosx=0 即(1-ay)a+yb^2=-2bsinxcosx 也就是a+(b^2-a^2)y=-2bsinxcosx,兩邊平方，得 a^2+2a(b^2-a^2)y+[b^4+a^4-2(ab)^2]y^2=4b^2(1-ay)ay=4ayb^2-4(ab)^2y^2 即a^2+2a(b^2+a^2)y+[b^4+a^4+2(ab)^2]y^2=0 [a+(a^2+b^2)y]^2=0得a+(a^2+b^2)y 把y=(b+c)/(2ab-2ba)代入上式，化簡即得 6.求cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)之值 5樓： [color=red]未解決問題[/color] [問]1已知cos(x+π/4)=3/5,17π/122x 5.已知x>=y>=z>=15度,且x+y+z=90度 求cosx*siny*cosz的最大值和最小值 6.已知函式f(x)=2a(sinx)^2-2sqr(3)sinxcosx+b的定義域為[0,pi/2],值域為[-5,-4],求常數a,b. 7.△abc中，∠cab=900 ，∠c=300 , ，ab=1。現有點p、q同時從a點出發，p沿ac，q沿ab 、bc分別作勻速運動，結果同時到達c。 求：1）點q與p運動的速度比 2設ap=x, s△apq=y，當點q在bc邊上運動時求x與y 函式關係試 3）當點q在bc上運動到什麼時候位置時，s△abq + s△cpq得值最小？（s△abq+ s△cpq） 8.設函式f(x)的定義域是集合a=，值域是集合b=，且對任意的a，b∈a，當a≤b時，一定有f(a)≤f(b)，這樣的函式f(x)有 a、11個 b、10個 c、9個 d、8個 9.若f(x)滿足：對任意x,y，tf(x)+(1-t)f(y)>=f(tx+(1-t)y)成立，求證：在[0,1]上存在c，使得|f(x)-f(y)|<=c|x-y|成立。 10.[color=red]已經解決問題[/color] 1.已知a、b、c都是正角 且(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=1 求證a+b+c>90度 [答]不妨設a,b,c均為銳角，則cos(a-b)>cos(a+b), 1=(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=1-cos(a+b)cos(a-b)+(sinc)^2 <1-[cos(a+b)]^2+(sinc)^2 即cos(a+b)90-c 2.要使函式y＝x2－2ax＋1在〔1，2〕上存在反函式，則a的取值範圍是 [答]這個函式要在[1，2]上一一對應啦，只要對稱軸x=a不在這裡面就行了 即 a<=1或a>=2 3.已知sinα-sinβ=-1/3,cosα-cosβ=1/2,求cos(α-β)的值。 [答](sinα-sinβ)^2=sinα^2-2sinaαsinβ+sinβ^2=1/9 (1); (cosα-cosβ)^2=cosα^2-2cosαcosβ+cosβ^2=1/4 (2), (1)+(2)=2-2cos(α-β)=1/9+1/4.化簡即可！ 4.求值：sin派/7*sin2派/7*sin3派/7 （分別為2/7，3/7，免得引起歧義） [答]a=kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)是方程tan(7a)=0的解，令x=tana, 因為tan(4a)=-tan(3a)，整理得 x^6-21*x^4+35*x^2-7=0,由偉達定理得知 tana*tan(2a)*tan(3a)*tan(4a)*tan(5a)*tan(6a)=-7,而tan(ka)=-tan[(7-k)a],k=0,1,2,3,4,5,6,於是知道 tan(π/7)*tan(2π/7)*tan(3π/7)=sqrt(7),又cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(3π/7)=1/8,從而sin(π/7)*sin(2π/7)*sin(3π/7)=sqrt(7)/8=sqrt(7/64) 5.已知asinx+bcosx=0,asin2x+bcos2x-c=0 求證2aba+(b^2-a^2)b+(a^2+b^2)c=0 [答]由asinx+bcosx=0得sinx=(-b/a)cosx,代入asin2x+bcos2x-c=0得 2a(-b/a)(cosx)^2+b[2(cosx)^2-1]-c=0 即(cosx)^2=a(b+c)/(2ab-2ba)。令(b+c)/(2ab-2ba)=y則有(cosx)^2=ay (sinx)^2=根號(1-ay) 兩邊平方asinx+bcosx=0得a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2+2absinxcosx=0 即(1-ay)a+yb^2=-2bsinxcosx 也就是a+(b^2-a^2)y=-2bsinxcosx,兩邊平方，得 a^2+2a(b^2-a^2)y+[b^4+a^4-2(ab)^2]y^2=4b^2(1-ay)ay=4ayb^2-4(ab)^2y^2 即a^2+2a(b^2+a^2)y+[b^4+a^4+2(ab)^2]y^2=0 [a+(a^2+b^2)y]^2=0得a+(a^2+b^2)y 把y=(b+c)/(2ab-2ba)代入上式，化簡即得 6.求cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)之值 [答]方法1： 原式=原式*2cos(π/14) / [2cos(π/14)] =/[2cos(π/14)] =1/2 方法2： 設原式=u,因為cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=2sin(π/7)*cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)/[2sin(π/7)]=-1/8,而 -1/8=cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=cos(4π/7)*[cos(π/7)+cos(3π/7)]/2 =[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)+cos(7π/7)]/4 =(u-1)/4 從而u=1/2 7.已知角a為銳角，求證0小於sina+cosa小於（圓周率的一半） [答]證明：已知a是銳角，則顯然sina+cosa>0。 又sina+cosa=（根號2）sin(a+45度)=<（根號2）<（圓周率的一半） 8.設0＜a＜1，f（logax）=[a(x^2-1)]/[x(a^2-1)] (1).求f(x); (2).求證:f(x)是奇函式 (3).求證f(x)在(-∞，+∞)上是增函式。 [答]解：（1）.令t=logax，則x=a^t f(t)=[a*(a^2t-1)]/[a^t*(a^2-1)] 也就是f(x)=[a*(a^2x-1)]/[a^x*(a^2-1)] （2）.f(-x)=/[a^(-x)*(a^2-1)] =a(1/a^2x-1)/[(1/a^x)*(a^2-1)] =[a(1-a^2x)*a^x]/[a^2x*(a^2-1)] =a(1-a^2x)/[(a^x)*(a^2-1)] =-f(x) 所以f(x)是奇函式. （3）設x10,1/(a^2-1)<0,a^(x1+x2)>0,所以 f(x1)-f(x2)<0就是f(x1)lgx(x=1/2) 說明x=1/2時-x^2在lgx上方 所以根在(1/2,1)間 選擇b實際上，方程的根在(0.52,0.53)這個區間內 10.題目：求函式y=sqr(1+2cosx)+lg(2sinx+sqr(3))定義域 這是一個錯例，它給出的錯解是這樣的： cosx≥-1/2 sinx>-sqr(3)/2 得到：2kπ+4π/3≤x≤2kπ+8π/3(k∈z) 不用反函式法） [答]化成兩個分式，再用x-a/x的單調性 (4^x-1)/(2^(x+1))=0.5*[(2^x)-1/(2^x)] 12.對於x屬於全體實數，f(x)滿足f(5-x)=f(5+x).若函式f(x)在5到正無窮大（開區間）上是增函式，則f(x)在負無窮大到5（開區間）上的單調性如何？ [答]證明函式的圖象關於x=5對稱：對任意的實數x，f（x）=f（10-x） 設x110-x2>5 由函式f(x)在5到正無窮大（開區間）上是增函式 f(10-x1)>f(10-x2) 即f(x1)>f(x2) f(x)在負無窮到5單調遞減 13.f(x)是定義在（-∞，3）上的減函式，不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）對一切x∈r均成立。求實數a的取值範圍。 [答]首先考慮定義域：a^2-sinx<3且a+1+cos2x<3當x∈r時恆成立，所以可解得-sqrt(2)=a+1+cos2x,即a^2-a-1>=(sinx+cos2x)max=9/8,解得1-sqrt(38)/2<=a<=1+sqrt(38)/2 綜上所述，a的取值範圍為-sqrt(2)直線x=a就是f(x)的對稱軸,選c 3.選4, 4.根據-f(x)=f(-x)，通分，化簡，可得m=2。 5.a16.求cos1。＋cos2。＋cos3。＋·····cos179。＋ cos180。 (1。指1度) [答]cos(x)=-cos(兀-x) 例如cos1。+cos179。=0 17.已知f(x)的定義域為（0，+∞），且f(xy)=f(x)+f(y)則下列個式錯誤的是（） a.f(1)=0 b.f(x^3)=3f(x)(x>0) c.f(x)=0(x>0) d. f(根號下x)=（1/2）f(x)(x>0) [答]f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1) 所以:2f(1)=f(1),所以,f(1)=0 f(x*x*x)=f(x)+f(x*x)=f(x)+f(x)+f(x)=3f(x) 注意x>0,x*x*x>0. f(x)=f[sqrt(x)]+f[sqrt(x)] c是錯的． [答]②④是. f(x)的值域為y≠1,g(x)的值域為y≠1,所以p=q [color=red]要討論的問題[/color] 1.反函式的困惑 老師強調反函式的定義域必須從原函式的值域來求，不然出錯 可是有時例題卻直接從反函式來求其定義域，什麼時候可以？ 好睏惑阿！ 因為f x 是奇函式,f x f x g x 是偶函式,g x g x 所以f x g x f x g x 又 f x g x x 2 3x 2 x 2 3x 2,用 x代x可得 所以 f x g x x 2 3x 2.令x x代入得f x g x x 2 3x 2 已知f x 是奇函式，g x 是... f x x b x a 1 a b x a 看這道題就比較明朗了 2，無窮大 上是增函式 若 a b 0 則必須是減函式 所以a b 0 才有可能是增函式 而且，利用1 x的圖形可以看出f x 在x a是無窮大點所以必須保證 2在單調遞增的範圍外 所以必須有 a 2 所以該題的答案是a 2且a b ... 1.ax2 bx c 0的解集是 那麼ax2 bx c 0的解集是 2.x 2 y 2 x y 2 2xy k 2 2xy 16k 2 16 2xy 因為2xy x 2 y 2 所以k 2 16 16 32 4 2 k 4 2 1.由題意得關於x的不等式 ax2 bx c 0的解集是,則關於x的不等...高一數學問題SOS，高一數學問題SOS
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