什麼叫做有理數

時間 2021-09-05 07:56:18

1樓:u愛浪的浪子

1,有理數是「數與代數」領域中的重要內容之一,在現實生活中有廣泛的應用,是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角座標系、函式、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

數學上,有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合,整數也可看做是分母為一的分數。

有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。

2,有理數集可以用大寫黑正體符號q代表。但q並不表示有理數,有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合,而有理數則為有理數集中的所有元素。

2樓:雨說情感

數學上,有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合,整數也可看做是分母為一的分數。

有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。

有理數集可以用大寫黑正體符號q代表。但q並不表示有理數,有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合,而有理數則為有理數集中的所有元素。

擴充套件資料

1、任何一個有理數都可以用數軸上的一個點表示。

2、數軸是研究數學的重要模型,也是「數形結合」的重要體現。

3、數軸是一條可以向兩端無限延伸的直線,數軸的三要素:原點、單位長度、正方向是根據實際需要「規定」的,通常選取向右的方向為數軸的正方向。

4、在數軸上,互為相反數的兩個數對應的點在原點的兩旁,離原點的距離相等。

5、數a的相反數是-a,若a、b互為相反數,則a+b=0。

3樓:金牛咲

有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。

正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化為十進位制迴圈小數,反之,每一個十進位制迴圈小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進位制迴圈小數。

擴充套件資料有理數的運算律(a、b、c等都表示任意的有理數):

1、加法的交換律:a+b=b+a。

2、加法的結合律:a+(b+c)=(a+b)+c。

3、存在加法的單位元0,使0+a=a+0=a。

4、對任意有理數a,存在一個加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0。

5、乘法的交換律:ab=ba。

6、乘法的結合律;a(bc)=(ab)c。

7、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac。

8、存在乘法的單位元1,使得對任意有理數a,有1×a=a×1=a。

9、對於不為0的有理數a,存在乘法逆元1/a,使1/a×a=a×1/a=1。

10、0a=0說明:一個數乘0還等於0。

4樓:新院第一高富帥

有理數的定義為:有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。

正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數,因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內,加法、減法、乘法、除法(除數不為零)4種運算通行無阻。

5樓:矽谷創業快訊

有理數:通常我們把能夠寫成分數形式稱為有理數。有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。

有理數的小數部分是有限或為無限迴圈的數。0也是有理數,整數和分數統稱有理數,整數也可看做是分母為一的分數。比如4=4.

0, 4/5=0.8,。

無理數:不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。如圓周率、√2(根號 2),1/3=0.33333……

6樓:匿名使用者

有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以化成分數的形式。

有理數可分為整數和分數也可分為正有理數,0,負有理數。除了無限不迴圈小數以外的實數統稱有理數。英文:

rational number讀音:yǒu lǐ shù整數和分數統稱為有理數,任何一個有理數都可以寫成分數m/n(m,n都是整數,且n≠0)的形式。任何一個有理數都可以在數軸上表示。

其中包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限迴圈小數。這一定義在數的十進位制和其他進位制(如二進位制)下都適用。數學上,有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比(ratio),通常寫作 a/b,故又稱作分數。

希臘文稱為 λογο,原意為「成比例的數」(rational number),但中文翻譯不恰當,逐漸變成「有道理的數」。 無限不迴圈小數稱之為無理數(例如:圓周率π)有理數和無理數統稱為實數。

所有有理數的集合表示為q。

以下都是有理數:

(1)自然數:數0,1,2,3,……叫做自然數.   (2)正整數:

+1,+2,+3,……叫做正整數。   (3)整數:正整數、0、負整數統稱為整數。

  (4)分數:正分數、負分數統稱為分數。   (5)奇數:

不能被2整除的整數叫做奇數。如-3,-1,1,5等。所有的奇數都可用2n-1或2n+1表示,n為整數。

  (6)偶數:能被2整除的整數叫做偶數。如-2,2,4,8等。

所有的偶數都可用2n表示,n為整數。   (7)質數:如果一個大於1的整數,除了1和它本身外,沒有其他因數,這個數就稱為質數,又稱素數,如2,3,11,13等。

2是最小的質數。   (8)合數:如果一個大於1的整數,除了1和它本身外,還有其他因數,這個數就稱為合數,如4,6,9,15等。

4是最小的合數。一個合數至少有3個因數。   如3,-98.

11,5.72727272……,7/22都是有理數。全體有理數構成一個集合,即有理數集,用粗體字母q表示,較現代的一些數學書則用空心字母q表示。

有理數集是實數集的子集,即q?r。相關的內容見數系的擴張。

有理數集是一個域,即在其中可進行四則運算(0作除數除外),而且對於這些運算,以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數):①加法的交換律 a+b=b+a;②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c;③存在數0,使 0+a=a+0=a;④乘法的交換律 ab=ba;⑤乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解釋:

一個數乘0還等於0。此外,有理數是一個序域,即在其上存在一個次序關係≤。0的絕對值還是0.

有理數還是一個阿基米德域,即對有理數a和b,a≥0,b>0,必可找到一個自然數n,使nb>a。由此不難推知,不存在最大的有理數。值得一提的是有理數的名稱。

「有理數」這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更「有道理」。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來,在英語中是(rational number),而(rational)通常的意義是「理性的」。

中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了「有理數」。但是,這個詞**於古希臘,其英文詞根為(ratio),就是比率的意思(這裡的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的「比」。

與之相對,而「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理(無理數就是無限不迴圈小數,π也是其中一個無理數)。

7樓:匿名使用者

有理數(rational number):能精確地表示為兩個整數之比的數。包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限迴圈小數。

這一定義在數的十進位制和其他進位制(如二進位制)下都適用。

如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理數。

有理數還可以劃分為正有理數、負有理數和0。

全體有理數構成一個集合,即有理數集,用粗體字母q表示,較現代的一些數學書則用空心字母q表示。

有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

有理數集是一個域,即在其中可進行四則運算(0作除數除外),而且對於這些運算,以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數):

①加法的交換律 a+b=b+a;

②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在數0,使 0+a=a+0=a;

④對任意有理數a,存在一個加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交換律 ab=ba;

⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的單位元1≠0,使得對任意有理數a,1a=a1=a;

⑨對於不為0的有理數a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

此外,有理數是一個序域,即在其上存在一個次序關係≤。

有理數還是一個阿基米德域,即對有理數a和b,a≥0,b>0,必可找到一個自然數n,使nb>a。由此不難推知,不存在最大的有理數。

值得一提的是有理數的名稱。「有理數」這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更「有道理」。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。

有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是「理性的」。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了「有理數」。但是,這個詞**於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裡的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。

所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的「比」。與之相對,「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。

8樓:匿名使用者

有理數有理數(rational number):能精確地表示為兩個整數之比的數。包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限迴圈小數。

這一定義在數的十進位制和其他進位制(如二進位制)下都適用。

如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理數。

有理數還可以劃分為正有理數、負有理數和0。

全體有理數構成一個集合,即有理數集,用粗體字母q表示,較現代的一些數學書則用空心字母q表示。

有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

有理數集是一個域,即在其中可進行四則運算(0作除數除外),而且對於這些運算,以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數):

①加法的交換律 a+b=b+a;

②加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在數0,使 0+a=a+0=a;

④對任意有理數a,存在一個加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交換律 ab=ba;

⑥乘法的結合律 a(bc)=(ab)c;

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的單位元1≠0,使得對任意有理數a,1a=a1=a;

⑨對於不為0的有理數a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

此外,有理數是一個序域,即在其上存在一個次序關係≤。

有理數還是一個阿基米德域,即對有理數a和b,a≥0,b>0,必可找到一個自然數n,使nb>a。由此不難推知,不存在最大的有理數。

值得一提的是有理數的名稱。「有理數」這一名稱不免叫人費解,有理數並不比別的數更「有道理」。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。

有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是「理性的」。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了「有理數」。但是,這個詞**於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裡的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。

所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的「比」。與之相對,「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。

無理數無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數,即無限不迴圈小數。 如圓周率、2的平方根等。

·無理數與有理數的區別:

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時,有理數能寫成有限小數和無限迴圈小數,

比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不迴圈小數,

比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不迴圈小數.

2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比;而無理數不能.根據這一點,有人建議給無理數摘掉「無理」的帽子,把有理數改叫為「比數」,把無理數改叫為「非比數」。本來嘛,無理數並不是不講道理,只是人們最初對它不太瞭解罷了。

利用有理數和無理數的主要區別,可以證明√2是無理數。

證明:假設√2不是無理數,而是有理數。

既然√2是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式:

√2=p/q

又由於p和q有公因數可以約去,所以可以認為p/q 為既約分數。

把 √2=p/q 兩邊平方

得 2=(p^2)/(q^2)

即 2(q^2)=p^2

由於2q^2是偶數,p 必定為偶數,設p=2m

由 2(q^2)=4(m^2)

得 q^2=2m^2

同理q必然也為偶數,設q=2n

既然p和q都是偶數,他們必定有公因數2,這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。

什麼是有理數,什麼叫有理數?什麼又叫有理式?

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