1樓：千振華希綾
用分部積分法.
∫^(0,1)x(1-x)f"(x)dx
(u=x(1-x)
v'=f''(x)
u'=1-2x
v=f'(x)
=[x(1-x)
f'(x)
](0,1)
-∫^(0,1)(1-2x)f'(x)dx再設u1=
1-2xv1=
f'(x)
(u1)'
=-2(v1)'=
f(x)=0
-(1-
2x)f(x)
(0,1)-2
∫^(0,1)f(x)dx
=f(1)
+f(0)
-2∫^(0,1)fx)dx
移項,整理即得:：∫^(0,1)f(x)dx=1/2(f(0)+f(1))-
1/2∫^(0,1)x(1-x)f"(x)其中:[x(1-x)
f'(x)
](0,1)
表示:函式[x(1-x)
f'(x)
]在x=1的值減去它在
x=0的值.另處類似.
2樓：司馬晚竹廣丁
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2
兩式相減，移項，取絕對值得|f'(x)|=|f(1)-f(0)+0.5f''(a)x^2-0.5f''(b)(1-x)^2|<=
|f(1)-f(0)|+0.5a(x^2+(1-x)^2)<=|f(1)-f(0)|+0.5a，最後不等式是因為二次函式x^2+(1-x)^2在【0
1】上的最大值是1
設f(x)在[0.1]連續,證明∫(0→1)[f(x)^2]dx≥[∫(0→1)f(x)dx]^2 50
3樓：寂寞的楓葉
解：設∫(0,1)f(x)dx=m，那麼(f(x)-m)^2≥0，
因此∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，
又(f(x)-m)^2=(f(x))^2-2m*f(x)+m^2，那麼
∫(0,1)(f(x)-m)^2dx=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)(2m*f(x))dx+∫(0,1)m^2dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-2m∫(0,1)f(x)dx+m^2
=∫(0,1)f(x))^2dx-2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2
又∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，所以，∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2≥0，
即∫(0,1)f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2
4樓：匿名使用者
要證明的積分上限應該是1.證明思路：先交換積分順序,然後交換變數的符號,
相加除以2即可.
原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 這是交換積分順序
=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 這是對上一個積分中的x,y變數互換符號而已
=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy上面個兩個積分相加除以2,注意內層積分恰好是從0到x和從x到1=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy=0.
5a^2.
設函式f在[1]上存在二階連續導數，且滿足f(0)=f(1)=0,證明∫(1,0)f(x)dx=1/2∫(1,0)x(x-1)f"(x)dx
5樓：匿名使用者
(1/2)∫
抄[0→
bai1] x(x - 1)ƒ''(x) dx= (1/2)∫[0→du1] (x² - x) d[ƒ'(x)]= (1/2)(x² - x)ƒ'(x) |[0→1] - (1/2)∫[0→1] ƒ'(x) d(x² - x)
= (- 1/2)∫[0→1] ƒ'(x)(2x - 1) dx= (- 1/2)∫[0→1] (2x - 1) d[ƒ(x)]= (- 1/2)(2x - 1)ƒ(x) |[0→1] + (1/2)∫[0→1] ƒ(x) d(2x - 1)
= (- 1/2) + (1/2)∫[0→1] ƒ(x)(2) dx= (- 1/2) + ∫[0→1] ƒ(x) dx= (- 1/2) + ∫[0→1] ƒ(x) dx= ∫[0→1] ƒ(x) dx
上面zhi共用了兩個分dao部積分法
∫ udv = uv - ∫ vdu
設z xf y x 2yf x y ,f具有二階連續導數且
毅忘無跡 過程有點多 我就說下大概的步驟吧 1.求完偏導後方程兩邊同時對y積分，得 y a f y a f y a 2f a y y 3 a 3 c 2.令y a x,上式兩邊同時除以 x 2後對x積分，得f x x 2f 1 x x 2 2 c x a 3.令x 1 x，代入a後，得方程b，ab聯...
0上有二階連續導數，且對任意x0有fxk,其中k0，為一常數，f 0 0證明 f x 在
由x 0有f x k,其中k 0可知f x 是一次函式 可寫成f x kx b 其中k大於0 那麼f x k x的平方 bx c k大於0 是一二次函式開口向上，由f 0 0可知頂點在 f x 在 0,上有且只有一個零點 證明 對任意的t 0，有f t k 0，兩邊對t從0積分到x x 0 得到變上...
設函式f x 在內具有一階連續導數，L是上半平面 y0 內的有向分段光滑曲線，其起點為 a,b
1.y 1 y 2 f xy xyf xy x 1 y 2 f xy xyf xy 故曲線積分i與路徑無關。2.ab cd 選取 a,b 到 c,b 再到 c,d i a,c 1 b 1 b 2f xb dx b,d c f cy 1 y 2 dy a c b a,c f xb dbx b,d cf...