線性迭代xn yn 2 1 2 n證明xn 1 yn 1yn,yn 1 xn y

3樓：南門之桃貫曦

1）xn+1=(xnyn)^1/2

<1/2(xn+yn)=yn+1

所以xn

<1/2(yn+yn)=yn

所以yn遞減

又因為y1=b>0,x1=a>b,

y2=1/2(a+b)

>x2=(ab)^2

,所以yn從y2開始遞減，即yn

>b>0,

所以yn單調有界，

即極限存在。

2）xn+1=(xnyn)^1/2

>(xnxn)^1/2=xn

所以xn遞增，同理，xn從x2開始遞增,即xn>

x2又因為xn<

yn

感覺好像不對。yn+1=(1/2)*(xn+yn)還是yn+1=1/[2*(xn+yn)]

？如果是=(1/2)*(xn+yn)那上面的過程就是對的

4樓：匿名使用者

x(n+1)=√(xnyn)＜(xn+yn)/2=y(n+1)於是0＜xn＜yn恆成立

y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn於是yn單調減，而yn＞0，於是單調減且有下界於是limyn存在

令limyn=a＞0

因為xn＜yn，於是xn＜a

x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn於是xn單調增，而xn＜a，於是xn單調增有上界於是limxn存在

令limxn=b

則limx(n+1)=√(ab)=b＞0

得a=b

即limxn=limyn

………………………………

若對xn＜a有疑惑可以進一步放大

xn＜yn＜y1

得xn有上界

設x1=y1=1,xn+1=xn+2yn,yn+1=xn+yn,求lim(n->無窮)xn/yn. 20

5樓：匿名使用者

x(n+1)/y(n+1)=[xn+2yn]/[xn+yn]=[xn/yn+2]/[xn/yn+1]

兩邊同時取極限，得到a=[a+2]/[a+1]

解得a=根號2，捨去-根號2，因為首項是正的，遞推式是加法，所以不可能是負值

6樓：匿名使用者

xn+1／yn+1=(xn+2yn)/(xn+yn)=1+yn/(xn+yn)=1+yn/yn+1

yn/yn+1=1-xn/yn+1

∵x1=y1=1，xn+1=xn+2yn,yn+1=xn+yn∴x2=3，y2=2，x3=7,y3=5.......

∴lim(n->無窮)xn/yn.

=lim(n->無窮)(2-xn/yn+1)=2

7樓：華

極限為0.5*（1+根號5）。 證明：

設f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）),對f（x）求導，得導數為正，f（x）單調遞增，又f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）)小於2，有上界。利用單調有界定理知其極限存在。對xn=1+(xn-1/（1+xn-1）)倆邊取極限，設xn的極限為a（n趨向無窮大）可得a=1+a/（1+a) 解這個方程，結果取正就可以了。

8樓：匿名使用者

這不沒明顯嗎？2yn=1，xn=1。xn/yn=2

x1=a>0,y1=b>0,xn+1=(xn+yn)/2,yn+1=(xn*yn)^1/2，求證數列xn,yn收斂並求其極限。其中兩個n+1均為下角標

9樓：我愛林爽然

(a+b)/2>=(ab)^1/2

yn+1=(xn*yn)^1/2小於=(xn+yn)/2＝xn+1xn+1-xn=(yn-xn)/2小於0所以xn單調減少xn小於a大於0

yn+1/yn=(xn/yn)^1/2大於1所以yn單調增加yn大於b小於a

單調有界數列必有極限

我只能證明他們極限相等，不會求。沒法求呀

0≤a