線性迭代xn yn 2 1 2 n證明xn 1 yn 1yn,yn 1 xn y

時間 2021-09-06 07:04:37

1樓:如夢隨行

x(n+1)=√(xnyn)<(xn+yn)/2=y(n+1)於是0<xn<yn恆成立

y(n+1)=(xn+yn)/2<(yn+yn)/2=yn於是yn單調減,而yn>0,於是單調減且有下界於是limyn存在

令limyn=a>0

因為xn<yn,於是xn<a

x(n+1)=√(xnyn)>√(xnxn)=xn於是xn單調增,而xn<a,於是xn單調增有上界於是limxn存在

令limxn=b

則limx(n+1)=√(ab)=b>0

得a=b

即limxn=limyn

2樓:單秀英愛嬋

首先證極限的存在性

根據不等式性質,x(n+1)≥y(n+1)(對於任意n≥1),所以

x(n+2)=(x(n+1)+y(n+1))/2≤x(n+1),y(n+2)=(x(n+1)*y(n+1))^1/2≥y(n+1).

所以任意n>2

y2≤y3≤...≤y(n-1)≤yn≤xn≤xn-1≤...≤x3≤x2

所以xn單調下降有下界,yn單調上升有上限,所以xn,yn都有極限然後如ls所說,設極限分別是a,b,對xn+1=(xn+yn)/2兩邊求極限得a=(a+b)/2,

所以a=b

已知0

3樓:南門之桃貫曦

1)xn+1=(xnyn)^1/2

<1/2(xn+yn)=yn+1

所以xn

<1/2(yn+yn)=yn

所以yn遞減

又因為y1=b>0,x1=a>b,

y2=1/2(a+b)

>x2=(ab)^2

,所以yn從y2開始遞減,即yn

>b>0,

所以yn單調有界,

即極限存在。

2)xn+1=(xnyn)^1/2

>(xnxn)^1/2=xn

所以xn遞增,同理,xn從x2開始遞增,即xn>

x2又因為xn<

yn

感覺好像不對。yn+1=(1/2)*(xn+yn)還是yn+1=1/[2*(xn+yn)]

?如果是=(1/2)*(xn+yn)那上面的過程就是對的

4樓:匿名使用者

x(n+1)=√(xnyn)<(xn+yn)/2=y(n+1)於是0<xn<yn恆成立

y(n+1)=(xn+yn)/2<(yn+yn)/2=yn於是yn單調減,而yn>0,於是單調減且有下界於是limyn存在

令limyn=a>0

因為xn<yn,於是xn<a

x(n+1)=√(xnyn)>√(xnxn)=xn於是xn單調增,而xn<a,於是xn單調增有上界於是limxn存在

令limxn=b

則limx(n+1)=√(ab)=b>0

得a=b

即limxn=limyn

………………………………

若對xn<a有疑惑可以進一步放大

xn<yn<y1

得xn有上界

設x1=y1=1,xn+1=xn+2yn,yn+1=xn+yn,求lim(n->無窮)xn/yn. 20

5樓:匿名使用者

x(n+1)/y(n+1)=[xn+2yn]/[xn+yn]=[xn/yn+2]/[xn/yn+1]

兩邊同時取極限,得到a=[a+2]/[a+1]

解得a=根號2,捨去-根號2,因為首項是正的,遞推式是加法,所以不可能是負值

6樓:匿名使用者

xn+1/yn+1=(xn+2yn)/(xn+yn)=1+yn/(xn+yn)=1+yn/yn+1

yn/yn+1=1-xn/yn+1

∵x1=y1=1,xn+1=xn+2yn,yn+1=xn+yn∴x2=3,y2=2,x3=7,y3=5.......

∴lim(n->無窮)xn/yn.

=lim(n->無窮)(2-xn/yn+1)=2

7樓:華

極限為0.5*(1+根號5)。 證明:

設f(x)=1+(xn-1/(1+xn-1)),對f(x)求導,得導數為正,f(x)單調遞增,又f(x)=1+(xn-1/(1+xn-1))小於2,有上界。利用單調有界定理知其極限存在。對xn=1+(xn-1/(1+xn-1))倆邊取極限,設xn的極限為a(n趨向無窮大)可得a=1+a/(1+a) 解這個方程,結果取正就可以了。

8樓:匿名使用者

這不沒明顯嗎?2yn=1,xn=1。xn/yn=2

x1=a>0,y1=b>0,xn+1=(xn+yn)/2,yn+1=(xn*yn)^1/2,求證數列xn,yn收斂並求其極限。其中兩個n+1均為下角標

9樓:我愛林爽然

(a+b)/2>=(ab)^1/2

yn+1=(xn*yn)^1/2小於=(xn+yn)/2=xn+1xn+1-xn=(yn-xn)/2小於0所以xn單調減少xn小於a大於0

yn+1/yn=(xn/yn)^1/2大於1所以yn單調增加yn大於b小於a

單調有界數列必有極限

我只能證明他們極限相等,不會求。沒法求呀

0≤a

10樓:匿名使用者

(a+b)/2>=(ab)^1/2

yn+1=(xn*yn)^1/2小於=(xn+yn)/2=xn+1xn+1-xn=(yn-xn)/2小於0所以xn單調減少xn小於a大於0

yn+1/yn=(xn/yn)^1/2大於1所以yn單調增加yn大於b小於a

單調有界數列必有極限

我只能證明他們極限相等,不會求。沒法求呀

已知0

11樓:an你若成風

考察數列極限的綜合應用

具體解答過程如圖:

12樓:蝸牛的石頭

假設極限為a,令xn=xn-1=yn=a代入原式

線性代數問題證明 n維向量組a1 a2 an線性無關的充分

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