1樓：單魁鈔迎夏
y"+y=0的特徵方程為：λ²+1=0，則λ=±i.所以y"+y=0的通解為y=c1cosx+c2sinx.設y"+y=cos
x的特解為：y*=acosx+bsinx,則y*'=-asinx+bcosx,y*"=-acosx-bsinx,代入原方程，則有-acosx-bsinx+acosx+bsinx=cosx，即2acosx=cosx,所以a=1/2,因此特解為：y*=(1/2)cosx.
故原方程的解為：y=c1cosx+c2sinx+(1/2)cosx.
2樓：
y" + y = -cos x 的齊次部分 y'' + y = 0 的特徵方程為：x^2 + 1 = 0 => x = ± i
所以，齊次部分解出解系：e^( ± i * x) = cos x ± i * sin x，選取線性無關的實數部分： u(x) = cos x, v(x) = sin x.
另外，易於驗證： - 1/2 * cos x - 1/2 * x * sin x 是 y" + y = -cos x 的一個特解.
∴ 通解： y = c1 * cos x + c2 * sin x - 1/2 * cos x - 1/2 * x * sin x.
其中，c1，c2 為任意常數.
3樓：鄒超
先求它的齊次方程的解，即y「+y=0;則運用常係數微分方程可解得r^2+1=0的根為r=+-i,
所以y=c1cosx+c2sinx,然後求其特解，根據f(x)=-cosx的格式可設y*=x[(ax+b)cosx+(cx+d)sinx]代入得4c=0;2a+2d=-1；-4a=0;2c-2b=0;即a=b=c=0;d=-1/2
所以y*=-1/2xsinx,
故通解y=c1cosx+c2sinx-1/2xsinx
4樓：行海盍芷藍
齊次方程y''+y＝0的特徵方程r^2＋1＝0，根是±i，所以齊次方程的通解是y＝c1sinx＋c2cosx
因為λ＝0不是特徵方程的根，所以非齊次方程y''+y＝x^2的一個特解假設為y＝ax^2＋bx＋c，代入非齊次方程得a＝1，b＝0，c＝－2，所以y＝x^2－2
所以原方程的通解是y＝c1sinx＋c2cosx＋x^2－2
求微分方程 (x+ycos(y/x))dx-xcox(y/x)dy=0 求過程。謝謝各位大神們了。
5樓：匿名使用者
^解：∵(x+ycos(y/x))dx-xcosx(y/x)dy=0==>xdx+ycos(y/x)dx-xcosx(y/x)dy=0==>xdx=(xdy-ydx)cos(y/x)==>dx/x=(xdy-ydx)cos(y/x)/x^2 (等式兩端同除x^2)
==>dx/x=cos(y/x)d(y/x)==>dx/x=d(sin(y/x))
==>∫dx/x=∫d(sin(y/x))==>ln│
版x│=sin(y/x)+ln│c│ (c是權常數)==>x=ce^(sin(y/x))
∴原方程的通解是x=ce^(sin(y/x))。
求微分方程y″+2y′+y=cosx，x=0時y=0，y′=32的特解
6樓：我素你的矜夜
齊次方程y′′+2y′+y=0的特徵方程為r2+2r+1=0，
其根為r1=r2=-1．
齊次方程y′′+2y′+y=0的通解為y=（c1+c2x）e-x．因為f（x）=cos x，λ+ωi=i不是特徵方程的根，所以非齊次方程的特解應設為
y*=acos x+bsin x，
代入原方程得
-2asin x+2bcos x=cos x，比較係數得a=0，b＝1
2．故y*＝1
2sinx．從而原方程的通解為y＝(c
+cx)e
?x+1
2sinx．
將初始條件代入通解得c＝0
?c+c+12
＝32，解之得c1=0，c2=1．
因此滿足所給初始條件的特解為y＝xe
?x+1
2sinx．
微分方程的解y'=y/(y-x)
7樓：匿名使用者
解法一：∵y'=y/(y-x) ==>(y-x)y'=y==>(y-x)dy=ydx
==>ydy=ydx+xdy
==>d(y²)=2d(xy)
==>y²=2xy+c (c是積分常數)∴原方程的通解是y²=2xy+c (c是積分常數)。
解法二：令y=xt，則y'=xt'+t
代入原方程，得xt'+t=t/(t-1)
==>xt'=t(2-t)/(t-1)
==>(t-1)dt/[t(2-t)]=dx/x==>[1/(2-t)-1/t]dt=2dx/x==>ln│t-2│+ln│t│=-2ln│x│+ln│c│ (c是積分常數)
==>t(t-2)=c/x²
==>(y/x)(y/x-2)=c/x²
==>y(y-2x)=c
==>y²-2xy=c
==>y²=2xy+c
故原方程的通解是y²=2xy+c (c是積分常數)。
8樓：良田圍
y' = dy/dx = y/(y - x)dx/dy = (y - x)/y = 1 - x/y設 x/y = u，x = yu
dx/dy = u + y du/dy
so, u + y du/dy = 1- udu/(1 - 2u) = dy/y
- ½ ln|1 - 2u| + c = lnylny + ½ln|1 - 2u| = cy²(1 - 2u) = e^c = c
y²(1 - 2x/y) = c
y² - 2xy = c
求解微分方程y"+y=cos x
9樓：
y"+y=0的特徵方程的根是i和-i，通解為：y=c1cosx+c2sinx
設特解為：y=x(asinx+bcosx),代入原方程求出a,b （自己能作嗎？)
原方程通解為：y=c1cosx+c2sinx+x(asinx+bcosx),
10樓：匿名使用者
y"+y=0的特徵方程為：λ²+1=0，則λ=±i.所以y"+y=0的通解為y=c1cosx+c2sinx.
設y"+y=cos x的特解為：y*=acosx+bsinx,則y*'=-asinx+bcosx,y*"=-acosx-bsinx,代入原方程，則有-acosx-bsinx+acosx+bsinx=cosx，即2acosx=cosx,所以a=1/2,因此特解為：y*=(1/2)cosx.
故原方程的解為：y=c1cosx+c2sinx+(1/2)cosx.
11樓：
y[x]->1/2 (cos[x]+2 c1cos[x]+x sin[x]+2 c2 sin[x])
c1, c2 為常數.
解微分方程y''+y'+y+x=0
12樓：
y''+y'+y=-x
y''+y'+y=0中,特徵方程:
r^2+r+1=0
r=(-1土根號3)/2
故y''+y'+y=0的通解為:
y=[c1cos((根號3)x/2)+c2sin((根號3)x/2)]e^(-x/2)
設方程的一個特解為y=ax+b
則:y''=0 , y'=a y=ax+b 代入y''+y'+y+x=0
0+a+ax+b+x=0
a+b=0 a+1=0
a=-1, b=1
故通解為:y=[c1cos((根號3)x/2)+c2sin((根號3)x/2)]e^(-x/2) - x+1
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