函式概念的形成

1樓：匿名使用者

函式概念是全部數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函式概念的發展，眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函式概念以新的思想，從而推動了整個數學的發展。本文擬通過對函式概念的發展與比較的研究，對函式概念的教學進行一些探索。

1、函式概念的縱向發展

1．1 早期函式概念——幾何觀念下的函式

十七世紀伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函式或稱為變數的關係這一概念，用文字和比例的語言表達函式的關係。2023年前後笛卡爾(descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關係，但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函式概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函式的一般意義，絕大部分函式是被當作曲線來研究的。

1．2 十八世紀函式概念——代數觀念下的函式

2023年約翰·貝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函式概念的基礎上，對函式概念進行了明確定義：由任一變數和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函式」，表示為，其在函式概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。

18世紀中葉尤拉(l．euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函式符號。尤拉給出的定義是：一個變數的函式是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表示式。

他把約翰·貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式（只有自變數間的代數運算）和超越函式（三角函式、對數函式以及變數的無理數冪所表示的函式），還考慮了「隨意函式」（表示任意畫出曲線的函式），不難看出，尤拉給出的函式定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

1．3 十九世紀函式概念——對應關係下的函式

2023年傅立葉(fourier，法，1768－1830)發現某些函式可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函式概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函式的認識又推進了一個新的層次。2023年柯西(cauchy，法，1789－1857)從定義變數開始給出了函式的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函式的一種有效方法，但是對函式來說不一定要有解析表示式，不過他仍然認為函式關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的侷限，突破這一侷限的是傑出數學家狄利克雷。

2023年狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函式概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函式。」狄利克雷的函式定義，出色地避免了以往函式定義中所有的關於依賴關係的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。

至此，我們已可以說，函式概念、函式的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函式定義。

等到康托爾(cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函式定義，通過集合概念，把函式的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它物件（點、線、面、體、向量、矩陣等）。

1．4 現代函式概念——集合論下的函式

2023年豪斯道夫(f．hausdorff)在《集合論綱要》中用「序偶」來定義函式。其優點是避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念，其不足之處是又引入了不明確的概念「序偶」。庫拉托夫斯基(kuratowski)於2023年用集合概念來定義「序偶」，即序偶(a，b)為集合，}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

2023年新的現代函式定義為，若對集合m的任意元素x，總有集合n確定的元素y與之對應，則稱在集合m上定義一個函式，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

函式概念的定義經過三百多年的錘鍊、變革，形成了函式的現代定義形式，但這並不意味著函式概念發展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做dirac－δ函式，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等於1，這在原來的函式和積分的定義下是不可思議的，但由於廣義函式概念的引入，把函式、測度及以上所述的dirac－δ函式等概念統一了起來。因此，隨著以數學為基礎的其他學科的發展，函式的概念還會繼續擴充套件。

2樓：寂寞之夜·泡沫

微積分是以變數和函式作為研究物件的。但是微積分問世時，函式的一般定義還沒有出現。隨著數學研究範圍的擴大，研究問題的深入，函式概念經歷了由不全面到全面，不嚴密到嚴密的發展過程。

在17世紀，數學已經出現了三角函式，對數函式、指數函式、代數函式，超越函式等概念。當時還沒有充分認識到函式概念。因此，17世紀引進的絕大部分函式是當作曲線來研究的。

最早給出函式概念的明確定義的是james gregrory,2023年，他的函式定義為：「它是從一些其它的量經過一系列代數運算而得到的，或者是經過任何其它可以想象的運算而得到的。」這最後一句話的意思，據他解釋是「除了五種代數運算外，必須加上第六種運算即趨於極限的運算。

」gregory的函式定義是一系列運算的組合。

萊布尼茨首次用「 function 」一詞表示冪，即。2023年，他用「 function 」一詞表示任何一個隨曲線上的點的變動而變動的量。

記號是尤拉2023年引進的。當時，尤拉認為函式是一條可以隨意描繪出的曲線。2023年尤拉把函式定義為由一個變數與一些常量通過任何方式形成的解析表示式。

上述種種函式定義，用現在的觀點看，無非是函式表示法中的解析表示法和圖象表示法。

2023年尤拉又給出一個新的函式定義：

如果一個變數依賴於另一個變數，使當後一個變數變化時，前一個量也隨著變化，那麼稱第一個量是第二個量的函式。

雖然18世紀對函式概念有多種不同的抽象和理解，但佔統治地位的函式概念是：函式是由一個解析表示式給出的。

從上述函式概念的發展變化過程可看出，這些函式概念是人們對各種具體的函式關係的不斷和反覆認識，經過抽象得出的，但都反映了一個量對另一量的依賴關係，都是「變化」和「運動」的辯證唯物主義觀點的抽象。

在18世紀，由於函式概念的較全面、較完整的定義尚未形成，因而，在理論和實踐上產生了許多尖銳的矛盾。最具代表性的是描述弦振動的偏微分方程的解的形式問題。描述與反映弦振動的數學形式是一個二階偏微分方程，它的解是一個函式，由於這個方程的解是一個一般的函式，因而引起了長達幾十年的關於函式的爭論。

後來，富里埃用三角級數表示了這個解析表示式，並用積分形式確定了三角級數的係數。這一發現使人們認識到解析表示式和曲線之間是可以互相轉化的。它們不是函式的本質，只是函式的表現形式。

2023年高斯和雅可比（1804-1851）的學生，黎曼的指導老師狄利克雷（1805-1859）給出了一個函式定義，這個定義與現代的工科數學教材的定義十分接近。他說：「如果對於某區間上的每一個確定的x值，按照某一法則y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x函式。

」狄利克雷的定義一方面繼承了尤拉等人關於函式概念的精神，又打破了把「函式」和「解析式子」等同起來的侷限性，抓住了兩個變數對應關係的確定存在這一要害，而不管它是否可用數**算來表達。從而使函式概念能更準確地描述各種互相依賴的變數之間的關係。但是隨著科學技術及數學學科本身的發展，這個以變數概念作為函式概念的定義逐漸暴露出不足之處。

20世紀初，又給出了下面的函式定義：「設x和y是兩個非空集合，如果對於每個x中的元素x，依照某一法則，總有確定的一個y中的y和它對應，這個對應法則就叫做函式」。這就是說，函式是非空集合x到非空集合y的一個對映。

這個定義明顯地不同於狄氏的定義，其一是用兩個集合x和y取代了定義在區間上的變數x和y，其二是將兩個集合x和y之間的確定的對應法則即對映叫做函式，而不是把某一變數叫做函式。

這個定義使我們可以將函式概念推廣到以任何物件為元素的兩個集合之間，這就極大地擴充套件了函式概念建立的基礎，適應了現代數學對函式概念的需要。

從上面的介紹我們可以看到，函式概念從提出到完成，用了二百多年的時間。從函式概念建立的過程我們可以看出，人們對函式概念的認識是隨著科學和數學學科本身的不斷髮展、不斷深入而不斷深化、不斷完善的。

注：「函式」一詞的由來。2023年我國清代數學家李善蘭翻譯《代數學》一書時首先用「函式」一詞翻譯「function」一詞，他解釋說：

「凡此變數函彼變數，則此為彼之函式」。中國古代用天、地、人、物表示未知數。李善蘭譯《代數學》中有「凡式中含天，為天之函式」這樣的語句。

3樓：

17世紀是工業生產和科學技術，飛速發展的時代。天文學、航海業和工業的發展，促進了數學的進一步研究與發展。當時人們把函式理解為變化的數量關係；把曲線理解為幾何影象。

法國哲學家、數學家笛卡爾（r.descartes 1596-1650）引入了座標系，創立了解析幾何。他把幾何問題轉化為代數問題。

對此，恩格斯做出了高度的評價，恩格斯說：「數學中的轉折點，是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學。

」英國數學家、物理學家、自然哲學家牛頓（i newton

1642-1727）,以流數來定義描述連續的量（fluxion）的變化率，用以表示變數之間的函式。

函式（function）是德國哲學家、數學家布萊尼茲（g.w.jeibniz，1646-1716）在2023年首先採用的。

他用函式一詞，表示一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。並引入了常量、變數、參變數等的概念。

瑞士數學家尤拉（l.euler,1707-1783）於2023年引入了函式符號f(x),並稱變數的函式，是由一個公式確定的數量關係。他於2023年在微分學中寫道：

「如果某些量以這樣一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面的變數也隨之變化，則稱前面的變數為後面變數的函式。」

2023年，德國數學家狄利克雷（p.g.l.

dirichlel,1805-1859),放棄了當時普遍接受的函式，是由數學符號和運算組成的表達方式的觀點，提出了y=f(x)是x與y之間的一種對應的現代數學的觀點。在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。

在中國，函式一詞是清代數學家李善蘭（1811-1882）最初使用的。他在2023年與英國學者烈亞力（1815-1887）合譯的《代數學》一書中，將「function」譯作「函式」

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