1樓：匿名使用者
1.第一個問題:
你可以參考我以前回答的問題:
由條件可知,
[f(1-x)-0]+{f(1+x)-0]=0
兩個點1-x,1+x的橫座標是以1為中點的
對應的縱座標f(1-x)和f(1+x)以0為中點
也就是說
點(1-x,f(1-x))和點(1+x,f(1+x))關於點(1,0)對稱,
而x是任取的,所以原函式本身關於(1,0)對稱
2. 第二個問題:f(1+x)=f(1-x)
這可從影象上很容易看出來.
我們知道對於偶函式y=g(x)滿足g(x)=g(-x)是關於x=0對稱的,一方面你可以參考教材上對偶函式如何證明其關於x=0對稱的方法來證明該問題
另外,還可以這麼理解:
已知g(x)為偶函式,等價於y=g(x)=g(-x),也等價於g(x)關於x=0對稱
那麼,將其沿+x平移1個單位,那麼新函式為:
f(x)=g(x-1)=g(1-x)
另外考慮到
g(x)=g(-x),
將點(x,g(x))向+x平移1個單位為(x,g(x-1))
將點(-x,g(-x))向+x平移1個單位為(-x-1,g(-x-1))
因為是對影象整體沿x軸平移,故影象上y值原先相等的點,在平移後y值仍然相等,也就是有
g(x-1)=g(-x-1)
而g(x-1)=g(1-x)
g(-x-1)=g(x+1)
於是g(x+1)=g(1-x)
也就是說,若圖相像關於x=1對稱,也等價於g(x+1)=g(1-x)
注意上面並不是證明若g(x+1)=g(1-x)則函式關於x=1對稱的過程,只是幫助你理解這些關係
證明方法: 對於任意一點(1-x,f(1-x))和其關於x=1對稱的點(1+x,f(1+x))都滿足, f(1-x)=f(1+x), 故整個函式關於x=1對稱
上面分析可以看出,f(x)關於x=1對稱和f(1-x)=f(1+x)是等價的
2樓：戒悲和尚
設p(x,f(x))和q(y,f(y))關於(1,0)中心對稱，則有(x+y)/2=1,[f(x)+f(y)]/2=0。y=2-x,f(y)=f(2-x)=-f(x)
令t=1-x,則得證。同樣的辦法可以證明後面的。
ps：如果不想證明，其實看也看的出來。因為在圖形中，任意一個【橫座標為1減去一個x的距離】的函式值，與【橫座標為1加上一個x的距離】的函式值互為相反數，所以可以想象(1,0)是對稱中心。
同理證明後面的。
f(x-1)和f(x+1)是奇函式f(x)是什麼函式,怎麼證明
3樓：匿名使用者
設f（x）＝f（x＋1），
則f（x）是奇函式，
則有：f（－x）＝－f（x）
又：f（x）＝f（x＋1）
====>>>> f(－x)=f(－x＋1)
f（x）＝f（x＋1）
則：f（－x）＝－f（x）
====>>>> f(－x＋1)
＝－f（x＋1）
如果在x=0處函式的值f（0）存在，則因為f(-0)=-f(0)--->2f(0)=0--->f(0)=0，是一定的。但是如果在x=0時函式不存在，當然就沒有f（0）=0。
例如反比例函式y=k/x,的定義域是x<>0.所以f(0)<>0而不存在。
擴充套件資料
奇函式：
如果函式f（x）的定義域關於原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那麼函式f（x）就叫做奇函式，其圖象特點是關於（0，0）對稱。
方法點評：
①如果函式定義域包括原點，那麼運用f（0）＝0解相關的未知量。
②若定義域不包括原點，那麼運用f（x）＝－f（－x）解相關引數。
③已知奇函式大於0的部分的函式表示式，求它的小於0的函式表示式，如奇函式f（x），當x＞0時，f（x）＝x2＋x那麼當x＜0時，－x＞0。
有f（－x）＝（－x）2＋（－x）⇒－f（x）＝x2－x⇒f（x）＝－x2＋x。
4樓：文武雙全天枰
周期函式 週期為4
因為f(x-1)是奇函式
由 奇函式關於原點對稱 和 《附》中第0條，得到f(x)關於點 （1,0）對稱
同理 f(x)關於點（-1,0）對稱
由《附》中第14條結論，得到 f(x)是週期為4的周期函式。
附：關於函式的週期性和對稱性的幾條結論：
0. f(x+t)可由f(x)向左平移t個單位得到（t為負表示向右平移）
1.若 f(x+t)=f(x), 則f(x)是以 t 為週期的函式 (可逆推)
2.若 f(x+a)=f(x+b), 則f(x)是以 |a-b|為週期的函式 (可逆推)
3.若 f(x+t)=-f(x), 則f(x)是以 2t 為週期的函式
4.若 f(x+t)=1/f(x), 則f(x)是以 2t 為週期的函式
5.若 f(x+t)=-1/f(x),則f(x)是以 2t 為週期的函式
6.若 f(t+x)=f(t-x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=t 且f(x+t)為偶函式 (可逆推)
7.若 f(2t-x)=f(x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=t (可逆推)
8.若 f(x+a)=f(b-x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=(a+b)/2 (可逆推)
9.若 f(t+x)=-f(t-x),則f(x)影象的對稱中心為 點(t,0) (可逆推)
10.若 f(2t-x)=-f(x), 則f(x)影象的對稱中心為 點(t,0) (可逆推)
11.若 f(x+a)=-f(b-x),則f(x)影象的對稱中心為 點((a+b)/2,0) (可逆推)
12.若 t為f(x)週期， 則 nt 也為f(x)週期（n為整數，n可以為負數）
13.若 f(x)有兩個對稱軸:x=a與x=b, 則f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式
14.若 f(x)有兩個對稱中心:(a,m)與(b,m), 則f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式
15.若 f(x)有一個對稱軸:x=a 和一個對稱中心:(b,m)，則f(x)是以 4|a-b| 為週期的函式
證明：1. 定義，不用證。
2. f(x+a)=f(x+b) 用 x-a 代換x 得
f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b] 即f(x)=f(x+b-a) 所以f(x)週期為b-a， 我們習慣上取週期為正
，故加絕對值，所以是 |a-b|
3. f(x+t)=-f(x) 用 x+t 代換x 得
f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x) 即 f(x+2t)=f(x) ，即 f(x)是以 2t 為週期的函式
4. 略。仿照3
5. 略。仿照3
6. 不用證。這是一個等價條件，即 f(t+x)=f(t-x) <=> (這三個符號是一起的，意思是等價
於) f(x)影象的對稱軸為 直線 x=t
可以想象：t+x即在t的右邊距離為x、t-x即在t的左邊距離為x，也就是說在t左右兩邊距t
相等的位置（t+x和t-x）
的函式值f(t+x)和f(t-x)也相等 顯然函式影象關於x=t是對稱的
7. f(2t-x)=f(x) 用 x+t 代換x 得
f[2t-(x+t)]=f(x+t) 即f(t-x)=f(t+x) 由6得 f(x)影象的對稱軸為 直線x=t
8. f(x+a)=f(b-x) 用 x-a 代換x 得
f[(x-a)+a]=f[b-(x-a)] 即f(x)=f(b+a-x) 由7得 f(x)影象的對稱軸為 直線x=(a+b)/2
9. 不用證。仿照6
10. 略。仿照7
11. 略。仿照8
12. 不用證。
13. f(x)有兩個對稱軸:x=a與x=b。 由7得 f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)
所以f(2a-x)=f(2b-x) 用 -x 代換 x 得
f(2a+x)=f(2b+x) 由2得 f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式
14. 令g(x)=f(x)-m ，顯然 f(x)與g(x)的對稱性和週期性都相同， 故 g(x)有兩個對稱中心:
(a,0)與(b,0)。
仿照13的方法 可以得到 g(x)是以 2|a-b| 為週期的函式， 故 f(x)是以 2|a-b| 為周
期的函式。
15. 略。仿照14
為什麼函式y=f(x+1)與f=f(1-x)的影象關於直線x=0對稱，求詳細過程。麻煩大家了。謝謝
5樓：匿名使用者
在y=f(x+1)上任取一點（a，b），根據函式影象的定義，則有b=f（a+1）成立
那麼b=f[1-（-a）]也成立
這說明（-a，b）的座標滿足y=f（1-x）的方程，所以（-a，b）就是y=f（1-x）上的點。
而（a，b）和（-a，b）兩點是關於x=0這條直線對稱的。
這說明y=f(x+1)上任何一點關於x=0的對稱點都在y=f（1-x）上。
同理也可以證明y=f（1-x）上的任何一點關於x=0的對稱點都在y=f(x+1)上。
所以y=f(x+1)和y=f(1-x)關於x=0這條直線對稱。
為什麼f x 1 f 1 x 2是中心對稱函式
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x 1和3 x的值是相等的,可以令t x 1,那麼可以認為是 t 和 4 t 的值是相等的,對程軸就是x 2 如果f x 是一個二次函式，它是不可能滿足f x 2 f x 2 的。因為二次函式定義域為r，取t x 2，則x 2 t 4所以f t f t 4 f x 是一個周期函式。而二次函式不可能是...
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