怎麼證明f 1 xf 1 x 的對稱中心是(1,0)還有怎麼證明f 1 x f 1 x 的對稱軸

時間 2021-08-11 18:13:37

1樓:匿名使用者

1.第一個問題:

你可以參考我以前回答的問題:

由條件可知,

[f(1-x)-0]+{f(1+x)-0]=0

兩個點1-x,1+x的橫座標是以1為中點的

對應的縱座標f(1-x)和f(1+x)以0為中點

也就是說

點(1-x,f(1-x))和點(1+x,f(1+x))關於點(1,0)對稱,

而x是任取的,所以原函式本身關於(1,0)對稱

2. 第二個問題:f(1+x)=f(1-x)

這可從影象上很容易看出來.

我們知道對於偶函式y=g(x)滿足g(x)=g(-x)是關於x=0對稱的,一方面你可以參考教材上對偶函式如何證明其關於x=0對稱的方法來證明該問題

另外,還可以這麼理解:

已知g(x)為偶函式,等價於y=g(x)=g(-x),也等價於g(x)關於x=0對稱

那麼,將其沿+x平移1個單位,那麼新函式為:

f(x)=g(x-1)=g(1-x)

另外考慮到

g(x)=g(-x),

將點(x,g(x))向+x平移1個單位為(x,g(x-1))

將點(-x,g(-x))向+x平移1個單位為(-x-1,g(-x-1))

因為是對影象整體沿x軸平移,故影象上y值原先相等的點,在平移後y值仍然相等,也就是有

g(x-1)=g(-x-1)

而g(x-1)=g(1-x)

g(-x-1)=g(x+1)

於是g(x+1)=g(1-x)

也就是說,若圖相像關於x=1對稱,也等價於g(x+1)=g(1-x)

注意上面並不是證明若g(x+1)=g(1-x)則函式關於x=1對稱的過程,只是幫助你理解這些關係

證明方法: 對於任意一點(1-x,f(1-x))和其關於x=1對稱的點(1+x,f(1+x))都滿足, f(1-x)=f(1+x), 故整個函式關於x=1對稱

上面分析可以看出,f(x)關於x=1對稱和f(1-x)=f(1+x)是等價的

2樓:戒悲和尚

設p(x,f(x))和q(y,f(y))關於(1,0)中心對稱,則有(x+y)/2=1,[f(x)+f(y)]/2=0。y=2-x,f(y)=f(2-x)=-f(x)

令t=1-x,則得證。同樣的辦法可以證明後面的。

ps:如果不想證明,其實看也看的出來。因為在圖形中,任意一個【橫座標為1減去一個x的距離】的函式值,與【橫座標為1加上一個x的距離】的函式值互為相反數,所以可以想象(1,0)是對稱中心。

同理證明後面的。

f(x-1)和f(x+1)是奇函式f(x)是什麼函式,怎麼證明

3樓:匿名使用者

設f(x)=f(x+1),

則f(x)是奇函式,

則有:f(-x)=-f(x)

又:f(x)=f(x+1)

====>>>> f(-x)=f(-x+1)

f(x)=f(x+1)

則:f(-x)=-f(x)

====>>>>  f(-x+1)

=-f(x+1)

如果在x=0處函式的值f(0)存在,則因為f(-0)=-f(0)--->2f(0)=0--->f(0)=0,是一定的。但是如果在x=0時函式不存在,當然就沒有f(0)=0。

例如反比例函式y=k/x,的定義域是x<>0.所以f(0)<>0而不存在。

擴充套件資料

奇函式:

如果函式f(x)的定義域關於原點對稱,且定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函式f(x)就叫做奇函式,其圖象特點是關於(0,0)對稱。

方法點評:

①如果函式定義域包括原點,那麼運用f(0)=0解相關的未知量。

②若定義域不包括原點,那麼運用f(x)=-f(-x)解相關引數。

③已知奇函式大於0的部分的函式表示式,求它的小於0的函式表示式,如奇函式f(x),當x>0時,f(x)=x2+x那麼當x<0時,-x>0。

有f(-x)=(-x)2+(-x)⇒-f(x)=x2-x⇒f(x)=-x2+x。

4樓:文武雙全天枰

周期函式 週期為4

因為f(x-1)是奇函式

由 奇函式關於原點對稱 和 《附》中第0條,得到f(x)關於點 (1,0)對稱

同理 f(x)關於點(-1,0)對稱

由《附》中第14條結論,得到 f(x)是週期為4的周期函式。

附:關於函式的週期性和對稱性的幾條結論:

0. f(x+t)可由f(x)向左平移t個單位得到(t為負表示向右平移)

1.若 f(x+t)=f(x), 則f(x)是以 t 為週期的函式 (可逆推)

2.若 f(x+a)=f(x+b), 則f(x)是以 |a-b|為週期的函式 (可逆推)

3.若 f(x+t)=-f(x), 則f(x)是以 2t 為週期的函式

4.若 f(x+t)=1/f(x), 則f(x)是以 2t 為週期的函式

5.若 f(x+t)=-1/f(x),則f(x)是以 2t 為週期的函式

6.若 f(t+x)=f(t-x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=t 且f(x+t)為偶函式 (可逆推)

7.若 f(2t-x)=f(x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=t (可逆推)

8.若 f(x+a)=f(b-x), 則f(x)影象的對稱軸為 直線x=(a+b)/2 (可逆推)

9.若 f(t+x)=-f(t-x),則f(x)影象的對稱中心為 點(t,0) (可逆推)

10.若 f(2t-x)=-f(x), 則f(x)影象的對稱中心為 點(t,0) (可逆推)

11.若 f(x+a)=-f(b-x),則f(x)影象的對稱中心為 點((a+b)/2,0) (可逆推)

12.若 t為f(x)週期, 則 nt 也為f(x)週期(n為整數,n可以為負數)

13.若 f(x)有兩個對稱軸:x=a與x=b, 則f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式

14.若 f(x)有兩個對稱中心:(a,m)與(b,m), 則f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式

15.若 f(x)有一個對稱軸:x=a 和一個對稱中心:(b,m),則f(x)是以 4|a-b| 為週期的函式

證明:1. 定義,不用證。

2. f(x+a)=f(x+b) 用 x-a 代換x 得

f[(x-a)+a]=f[(x-a)+b] 即f(x)=f(x+b-a) 所以f(x)週期為b-a, 我們習慣上取週期為正

,故加絕對值,所以是 |a-b|

3. f(x+t)=-f(x) 用 x+t 代換x 得

f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x) 即 f(x+2t)=f(x) ,即 f(x)是以 2t 為週期的函式

4. 略。仿照3

5. 略。仿照3

6. 不用證。這是一個等價條件,即 f(t+x)=f(t-x) <=> (這三個符號是一起的,意思是等價

於) f(x)影象的對稱軸為 直線 x=t

可以想象:t+x即在t的右邊距離為x、t-x即在t的左邊距離為x,也就是說在t左右兩邊距t

相等的位置(t+x和t-x)

的函式值f(t+x)和f(t-x)也相等 顯然函式影象關於x=t是對稱的

7. f(2t-x)=f(x) 用 x+t 代換x 得

f[2t-(x+t)]=f(x+t) 即f(t-x)=f(t+x) 由6得 f(x)影象的對稱軸為 直線x=t

8. f(x+a)=f(b-x) 用 x-a 代換x 得

f[(x-a)+a]=f[b-(x-a)] 即f(x)=f(b+a-x) 由7得 f(x)影象的對稱軸為 直線x=(a+b)/2

9. 不用證。仿照6

10. 略。仿照7

11. 略。仿照8

12. 不用證。

13. f(x)有兩個對稱軸:x=a與x=b。 由7得 f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)

所以f(2a-x)=f(2b-x) 用 -x 代換 x 得

f(2a+x)=f(2b+x) 由2得 f(x)是以 2|a-b| 為週期的函式

14. 令g(x)=f(x)-m ,顯然 f(x)與g(x)的對稱性和週期性都相同, 故 g(x)有兩個對稱中心:

(a,0)與(b,0)。

仿照13的方法 可以得到 g(x)是以 2|a-b| 為週期的函式, 故 f(x)是以 2|a-b| 為周

期的函式。

15. 略。仿照14

為什麼函式y=f(x+1)與f=f(1-x)的影象關於直線x=0對稱,求詳細過程。麻煩大家了。謝謝

5樓:匿名使用者

在y=f(x+1)上任取一點(a,b),根據函式影象的定義,則有b=f(a+1)成立

那麼b=f[1-(-a)]也成立

這說明(-a,b)的座標滿足y=f(1-x)的方程,所以(-a,b)就是y=f(1-x)上的點。

而(a,b)和(-a,b)兩點是關於x=0這條直線對稱的。

這說明y=f(x+1)上任何一點關於x=0的對稱點都在y=f(1-x)上。

同理也可以證明y=f(1-x)上的任何一點關於x=0的對稱點都在y=f(x+1)上。

所以y=f(x+1)和y=f(1-x)關於x=0這條直線對稱。

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