矩陣的秩在什麼情況下為,矩陣的秩在什麼情況下為

時間 2021-08-30 11:06:16

1樓:八零後電影院

矩陣的秩等於0的充分必要條件是這個矩陣是零矩陣。

參照定理:對於每個矩陣a,fa都是一個線性對映,同時,對每個的 線性對映f,都存在矩陣a使得 f= fa。也就是說,對映是一個同構對映。

所以一個矩陣 a的秩還可定義為fa的像的維度(像與核的討論參見線性對映)。

矩陣 a稱為 fa的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣,因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 n減 f的核的維度;秩-零化度定理聲稱它等於 f的像的維度。

秩線性對映的推廣:

只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當 a有秩 n(在這種情況下,我們稱 a有“滿列秩”)。f是滿射,當且僅當 a有秩 m(在這種情況下,我們稱 a有“滿行秩”)。在方塊矩陣a(就是 m= n) 的情況下,則 a是可逆的,當且僅當 a有秩 n(也就是 a有滿秩)。

如果 b是任何 n× k矩陣,則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。即:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b)) 推廣到若干個矩陣的情況,就是:

秩(a1a2...am)≤min(秩(a1),秩(a2)。

秩(am)) 證明:考慮矩陣的秩的線性對映的定義,令a、b對應的線性對映分別為 f和 g,則秩(ab)表示複合對映 f·g,它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。

2樓:是你找到了我

這個矩陣是零矩陣時,矩陣的秩為0;

這個矩陣是非零矩陣且每行成比例時,或者矩陣是隻有一行或者只有一列時,矩陣的秩為1。

3樓:北京小小哥

首先明白矩陣為0矩陣的意思就是矩陣任何一個元素均為0,同理一個矩陣只要不是0則矩陣必有至少一個元素不為0。

秩的定義通俗理解就是若a為3*3方陣,r(a)=2即秩為2代表a的三行或三列向量有兩行或兩列線性相關對於行列式a來說就是這兩行或兩列對應成比例,所以有效向量可以看作1再加上剩下的那一行或列就是2也就是矩陣的秩 。

以下是規範定義,對於n階方陣a r(a)=k,即存在k階子式不為0,對任意k+1階子式全為0。k階子式就是對a任取k行k列的交點元素組成的k階新矩陣的行列式,同理k+1階類似,當然k一定小於n。所以r(a)=0 k為0,必有k+1也就是1階子式全為0即原來a中任意一個元素均為0再看開頭矩陣a為0的定義就可以得出a必為0矩陣。

結論:矩陣a為0與矩陣的秩為0是充要條件,同理矩陣a不為0的充要條件為秩大於等於1,這個可以反證。

純手打望採納

4樓:匿名使用者

考慮秩的定義. 若有某個矩陣係數不為0, 則矩陣秩至少是1. 因此矩陣秩為0當且僅當矩陣係數全部是0, 或者說是0矩陣.

兩個矩陣的乘積為零 它們的 秩有什麼關係

5樓:甜美志偉

關係: r(a)+r(b)<=n;

推導過程如下:

設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣;

則 b 的列向量都是 ax=0的秩;

所以 r(b)<=n-r(a);

所以 r(a)+r(b)<=n。

擴充套件資料:

秩性質我們假定 a是在域 f上的 m× n矩陣並描述了上述線性對映。

只有零矩陣有秩 0 a的秩最大為 min(m,n) f是單射,當且僅當 a有秩 n(在這種情況下,我們稱 a有“滿列秩”)。

f是滿射,當且僅當 a有秩 m(在這種情況下,我們稱 a有“滿行秩”)。

在方塊矩陣a(就是 m= n) 的情況下,則 a是可逆的,當且僅當 a有秩 n(也就是 a有滿秩)。如果 b是任何 n× k矩陣,則 ab的秩最大為 a的秩和 b的秩的小者。

即:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b)) 推廣到若干個矩陣的情況。

就是:秩(a1a2...am)≤min(秩(a1),秩(a2),...

秩(am)) 證明:考慮矩陣的秩的線性對映的定義,令a、b對應的線性對映分別為 f和 g,則秩(ab)表示複合對映 f·g,它的象 im f·g是 g的像 im g在對映 f作用下的象。

然而 im g是整個空間的一部分,因此它在對映 f作用下的象也是整個空間在對映 f作用下的象的一部分。也就是說對映 im f·g是im f的一部分。

對矩陣就是:秩(ab)≤秩(a)。對於另一個不等式:

秩(ab)≤秩(b),考慮 im g的一組基:(e1,e2,...,en),容易證明(f(e1),f(e2),...

,f(en))生成了空間 im f·g,於是 im f·g的維度小於等於im g的維度。

對矩陣就是:秩(ab)≤秩(b)。因此有:秩(ab)≤min(秩(a),秩(b))。若干個矩陣的情況證明類似。

作為 "<" 情況的一個例子,考慮積 兩個因子都有秩 1,而這個積有秩 0。可以看出,等號成立當且僅當其中一個矩陣(比如說 a)對應的線性對映不減少空間的維度,即是單射,這時 a是滿秩的。

於是有以下性質:如果 b是秩 n的 n× k矩陣,則 ab有同 a一樣的秩。如果 c是秩 m的 l× m矩陣,則 ca有同 a一樣的秩。

a的秩等於 r,當且僅當存在一個可逆 m× m矩陣 x和一個可逆的 n× n矩陣 y使得 這裡的 ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。

矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數(這就是秩-零化度定理)。

6樓:墨陌沫默漠末

關係是r(a)+r(b)<=n。

因為ab=0,所以b的每一列都是線性

方程組ax=0的解。而根據線性方程組理論,ax=0的基礎解系中線性無關的解的個數(或者說解空間的維數)≤ n-r(a)。

而b的列向量組是解空間的一部分,所以b的列向量組中的極大線性無關組中的向量個數(就是秩r(b))一定≤基礎解系中線性無關的解的個數,也就是≤ n-r(a),所以r(b)≤ n-r(a),從而r(a)+r(b)<=n。

方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r(a),m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者,表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為“欠秩”)的。

設a是一組向量,定義a的極大無關組中向量的個數為a的秩。

定義1、在m*n矩陣a中,任意決定k行和k列交叉點上的元素構成a的一個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為a的一個k階子式。

例如,在階梯形矩陣中,選定1,3行和3,4列,它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式 就是矩陣a的一個2階子式。

定義2、a=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣a的秩,記作ra,或ranka或r(a)。

特別規定零矩陣的秩為零。

顯然ra≤min(m,n) 易得:

若a中至少有一個r階子式不等於零,且在r由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n,通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(a)≠0;不滿秩矩陣就是奇異矩陣,det(a)=0。

由行列式的性質1(1.5)知,矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的。

7樓:匿名使用者

它們的秩序關係是一個數字乘以零

8樓:匿名使用者

設ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩陣則 b 的列向量都是 ax=0 的解

所以 r(b)<=n-r(a)

所以 r(a)+r(b)<=n

9樓:電燈劍客

如果a是mxn的矩陣,b是nxk的矩陣,ab=0,那麼rank(a)+rank(b)<=n

10樓:alone丶

關係是:r(c)。。。。

兩個矩陣的秩在哪些情況下相同

11樓:前回國好

這個太寬泛了,我給bai你幾du個常用的吧,首先線性方程組zhi有解要求係數dao矩陣和增光版矩陣的秩想當。

其次,兩矩

權陣相似或者等價,秩相等。

若a和對角矩陣相似,則和對角矩陣秩相等。

兩個合同矩陣秩相等。

兩個最高階子式子不為零的階數相等的矩陣秩相等。

等等。兩個同型係數矩陣所組成的同解齊次方程,他們兩個係數矩陣秩相等,...

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