1樓：歷鵾春盼雁
微分方程學過沒
y`+(2+x/x)y=0
那麼同時乘以e^[∫(2+x/x)dx]=x^2e^x所以建構函式f(x)=x^2e^xf(x)則f`(x)=e^x[x^2f(x)+2xf(x)+x^2f`(x)]
(因為x>0可以提出一個x)
就化為f`(x)=xe^x[xf(x)+2f(x)+xf`(x)]
2樓：孟秋柔宣夢
解：（i）設函式g(x)=f(x)+x，則g(0)=f(0)+0=0，g(1)=f(1)+1=2。根據介值定理，（定理大意：
如果函式f(x)在(a,b)內連續，且f(a)=m>f(b)=m，則存在c∈(a,b)使得f(c)∈(m,m)。）則在（0,1）存在g(ζ)=f(ζ)+1=2，所以，f(ζ)=1-ζ。
（ii）由（i）存在a∈﹙0，1﹚
使得；f﹙a﹚＝1－a。
則根據拉格朗日中值定理，（定理大意，函式f(x)在[a,b]內連續可導，則存在c∈﹙a,b)，使得
f'﹙c)=(f(a)-f(b))/(a-b)。）在x∈﹙0，a)，存在ζ∈﹙0，a)，使得f'﹙ζ﹚=(f(a)-f(0))/(a-0)=(1-a)/a。同理，在x∈﹙a，1)，存在ζ∈﹙a，1)，使得f'﹙η﹚=(f(1)-f(a))/(1-a)=(1-(1-a))/a=a/(1-a)。
所以，f'﹙ζ﹚f'﹙η﹚=(1-a)/a*a/(1-a)=1
3樓：輝暉鐸致
設g(x)
=e^(-x²)·f(x).
則g(x)在[0,1]連續,
在(0,1)內可導,
且g(0)=0
=g(1).
由rolle定理,
存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=0.
即有e^(-ξ²)·f'(ξ)-2ξe^(-ξ²)·f(ξ)=0.
而e^(-ξ²)≠0,
故f'(ξ)
=2ξf(ξ).
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
4樓：你愛我媽呀
證明過程如下：
設g(x)=xf(x)，
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導且g(0)=g(1)，由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
5樓：匿名使用者
證明：設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,證明:至少存在一點,使得f'
6樓：字染碧亥
構造輔助函式
f(x)=f(x)e^(2x)，它在[0，1]上連續，在(0，1)內可導
且f(1)=f(0)=0
那麼，根據羅爾中值定理，存在一點§，使得f'(§)=0即f'(§)+2f(§)=0
希望對樓主有幫助~~
設f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1),證明:存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0？
7樓：崇元化
令φ(x)=f(x)-(1-x)，
則φ(x)在[0，1]上連續，
φ(0)=-1＜0，φ(1)=1＞0，
故由零點存在定理，
知存在ξ∈(0，1)，使[*]
由拉格朗日微分中值定理，
存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使 [*]故 f』(η)・f』(ζ)=1。
8樓：
題目應該是兩個一階導數的和為0吧（因為題目都沒有說f函式有二階導數），如果是一階導數的話，過程如下請參考
9樓：匿名使用者
問題是這樣嗎?如果f(x)=(x-1/2)^2，那也滿足f(0)=f(1)，但是f"(x)=2恆成立，就不存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0
設函式f x 在上連續,在 0,a 內可導,且f
令g x x 3f x g x 3f x xf x x 2。由於g 0 g a 0，由羅爾定理必存在 使g 0，即3f f x 0 證 建構函式f x x f x 則f x 在 0，a 上連續，在 0，a 內可導。f 0 0 f 0 0，f a a f a 0f x 3x f x x f x 由羅爾...
函式f x 與xf x 在上連續,且f x 與xf x 在上的定積分都
死亡的誓言 假設f x 在 a，b 上恆不等於0，則f x 在 a，b 內恆正或恆負，根據積分不等式性質有 f x 在 a，b 上的積分要麼大於0，要麼小於0.這與f x 在 a,b 上的定積分 0矛盾。故存在一點x1在 a，b 上，使f x1 0.假設 f x 在 a，b 內有一個零點x1，則 f...
已知函式f x 2ax 2 2x 3在區間 0,1 內有零
貳宣 f x 2ax 2 2x 3 2a x 2 3x 2a 3 2a x 3 4a 2 3 9 8a 當f 0 0,f 1 0時，因為f 0 3,與假設矛盾，捨去 當f 0 0,f 1 0時，解得a 0，此時3 4a 1 因為對稱軸3 4a 1會有f 1 0的矛盾 綜上所述，a 3 4 左幻塵 1...