1樓：這個世界確實很有趣
裂項法裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解：設 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項）
則 sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意： 餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
一、基本概念
1、 數列的定義及表示方法：按一定次序排列成的一列數叫數列
2、 數列的項an與項數n
3、 按照數列的項數來分,分為有窮數列與無窮數列
4、 按照項的增減規律分為：遞增數列,遞減數列,擺動數列和常數列
5、 數列的通項公式an
6、 數列的前n項和公式sn
7、 等差數列、公差d、等差數列的結構：an=a1+(n-1)d
8、 等比數列、公比q、等比數列的結構：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和sn的關係：an= sn-sn-1
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式： an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，sn=n a1 (是關於n的正比例式)；
當q≠1時，sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列的任意連續m項的和構成的數列sm、s2m-sm、s3m-s2m、s4m - s3m、……仍為等差數列。
15、等差數列中，若m+n=p+q，則 am+an=ap+aq
16、等比數列中，若m+n=p+q，則 am·an=ap·aq
17、等比數列的任意連續m項的和構成的數列sm、s2m-sm、s3m-s2m、s4m - s3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列。
19、兩個等比數列與的積、商、倒陣列成的數列
、 、 仍為等比數列。
20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；
四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
24、分組法求數列的和：如an=2n+3n
25、錯位相減法求和：如an=n·2^n
26、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an= n
28、求數列的最大、最小項的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差數列 中,有關sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當 a1>0,d<0時，滿足的項數m使得sm取最大值.
(2)當 a1<0,d>0時，滿足的項數m使得sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
參考資料
2樓：亓堯士仲舒
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/[n(n+1)]=1/（n-1）(n+1)（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
3樓：嶽珉保邈
數列的嗎?就是將數列中的每項(通項)分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的、
【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(裂項)
則sn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項求和)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1)
的前n項和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項)
則sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項求和)
=[n(n+1)(n+2)]/3
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