平面向量基本定理,平面向量基本定理的共面向量

時間 2021-08-11 17:14:41

1樓:匿名使用者

向量op=on+np

= on +mnb(因為向量np與向量nb共線,所以存在唯一實數m,使得np =mnb)

=3a/4+m(ob-on)

=3a/4+m(b-3a/4)

=(3/4-3m/4)a+mb.

另一方面,

因為向量op與向量om共線,所以存在唯一實數n,使得op =nom,向量op =nom

=n(oa+am)

= n(oa+2ab/3)

= n(oa+2/3(ob-oa))

= n(1/3oa+2/3ob)

=n/3a+2n/3b.

綜上可知:向量op=(3/4-3m/4)a+mb=n/3a+2n/3b.

所以3/4-3m/4=n/3,m=2n/3,解得m=3/5,n=9/10.

∴向量op= n/3a+2n/3b=3/10a+3/5b.

2樓:胡鬧

連線ap,可先求ap,然後根據op=oa+ap,向量兩字就不打了ab=b-a,設mp=xmo,np=ynbap=am+mp=2/3(b-a)+x(2a-b)=(2x-2/3)a+(2/3-y)b

ap=an+np=1/4(-a)+y(b-3/4a)=-(1/4+3/4y)a+yb

然後使兩個式子相等,列兩個關於xy的方程組,即可求出x,y,ap也就知道了,那麼op自己算算吧,祝你好運!

平面向量基本定理的共面向量

3樓:手機使用者

共面向量基本定理:如果兩個向量a、b不共線,那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是:存在唯一實數對x、y,使p=xa+yb。

平面向量基本定理怎麼證明?

4樓:123劍

平面向量基本定理的內容是:如果兩個向量a、b不共線,那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是:存在唯一實數對x、y,使p=xa+yb。

這項定理其實說明了平面向量可以沿任意指定的兩方向分解,同時也說明了由任意兩向量可以合成指定向量,即向量的合成與分解 。當兩個方向相互垂直時,其實就是把他們在直角座標系中分解,此時(x,y)就稱為此向量的座標。(此向量的起點為原點)所以此定理為向量的座標表示提供了理論依據。

對於這個定理,「存在」是非常好理解的,可以說是一個公理,而「唯一」可以通過反證法證明:

假設存在 另一對實數 m,n 滿足 me1+ye2=a又 xe1+ye2=a

me1+ye2=xe1+ye2

(m-x)e1=(y-n)e2

因為e1,e2不共線

所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n與假設矛盾

所以得證

平面向量基本定理是什麼

5樓:雪妖

如果兩個向量a、b不共線,那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是:存在唯一實數對x、y,使p=xa+yb。

事實上,這個定理表明,平面向量可以在任意給定的兩個方向上分解,任意兩個向量都可以合成一個給定的向量,即向量的合成和分解。

當兩個方向相互垂直時,它們實際上是在直角座標系中分解的,(x,y)稱為向量的座標。(向量的起點是原點)所以這個定理為向量的座標表示提供了理論基礎。

擴充套件資料;

正誤判斷;

1、若a=0,則對任a·b≠0. 錯(當a⊥b時,a · b=0)

2、若a≠0,a · b=0,則b=0錯(當a和b都不為零,且a⊥b時,a · b=0)

3、若a · b=0,則a · b中至少有一個為0. 錯(可以都不為0,當a⊥b時,a · b=0成立)

4、若a≠0,a · b=b · c,則a=c錯(當b=0時)

5、若a · b=a · c,則b≠c,當且僅當a=0時成立. 錯(a≠0且同時垂直於b,c時也成立)

6、對任意向量a有a·a=∣a∣* ∣a∣

平面向量的線性運算:加法為三角形法則'平行四邊形法則'。定理:向量a與b共線,a不等於零,有且只有唯一一個實數c,使b=ca。

6樓:須咗能乎

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對該平面內的任一向量a,存在唯一一對有序實數(x 、y) ,使 a= xe1+ ye2。

平面向量基本定理怎麼理解

7樓:匿名使用者

平面向量基本定理就是說一個任意的向量可以用一組基本向量e1,e2。表示此定理其實說明了平面向量可以沿任意指定的兩方向分解,同時也說明了由任意兩向量可以合成指定向量,即向量的合成與分解 。當兩個方向相互垂直時,其實就是把他們在直角座標系中分解,此時(x,y)就稱為此向量的座標。

所以此定理為向量的座標表示提供了理論依據。

平面向量基本定理的唯一性是什麼?

8樓:了房產局燒錄機

平面向量基本定理講的是:如果兩個向量a、b不共線,那麼向量p與向量a、b共面的充要條件是:存在一個唯一的有序實數對(x, y),使得p=xa+yb;此處唯一性指的就是有序實數對的唯一性。

若三點共線則為什麼平面向量基本定理基底前的係數相加等於1呢?

9樓:匿名使用者

設a、b、c三點共線,bai

duo是平面內任一點。zhi

因為a、b、c共線,dao所以版存在非零實數k,使ab=kac

即 ob-oa=k(oc-oa)

所以 ob=koc+(1-k)oa

[注:兩個係數權和 k+1-k=1]

反之,若存在實數x,y 滿足 x+y=1,且oa=xob+yoc則 oa=xob+(1-x)oc

oa-oc=x(ob-oc)

所以 ca=xcb

因此,向量ca與cb共線,

又由於 ca、cb有公共點c

所以,a、b、c三點共線

平面向量基本定理中共線就唯一了為什麼還要證

10樓:可愛的zzz聖

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對該平面內的任一向量a,存在唯一一對有序實數(x 、y) ,使 a= xe1+ ye2.

用反證法證明:

假設存在 另一對實數 m,n 滿足 me1+ye2=a

又 xe1+ye2=a

me1+ye2=xe1+ye2

(m-x)e1=(y-n)e2

因為e1,e2不共線

所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n

與假設矛盾

所以得證

推廣:已知空間任意一點o和不共線的三點a.b.c,則點p位於平面abc內的充要條件是:存在x.y.z∈r,滿足x+y+z=1 使op=xoa+yob+zoc.

證明:(充分性)

∵x+y+z=1

∴ z=1-x-y

又∵op=xoa+yob+zoc

∴ op =xoa+yob+(1-x-y)oc

op=x(oa-oc)+y(ob-oc)+oc

op-oc=x(oa-oc)+y(ob-oc)

∴ cp=xca+ycb

又由已知條件a、b、c三點不共線可得ca、cb是不共線向量

∴ 根據平面向量的基本定理可知,點p位於平面abc內

∴ 充分性成立

(必要性)

∵點p位於平面abc內

又由已知條件a、b、c三點不共線可得ca、cb是不共線向量

∴ 根據平面向量的基本定理可知,存在實數x,y使得

cp=xca+ycb

∴ op-oc=x(oa-oc)+y(ob-oc)

op=x(oa-oc)+y(ob-oc)+oc

op =xoa+yob+(1-x-y)oc

令z=1-x-y

則x+y+z=1 且 op=xoa+yob+zoc

即,存在實數x、y、z滿足x+y+z=1,使得op=xoa+yob+zoc

∴ 必要性成立

平面向量基本定理怎麼證明,求平面向量基本定理的證明

隱承德銀洽 先確認下pa pbpc是不是向量。如果是向量 那麼,用排除法就很簡單了 如果a對,那麼c一定在ab邊上,肯定錯。如果b對,那麼pa pb得出的點c一定不在bc邊上,因為a不在bc邊上 所以不符合。如果c對,那麼你會發現pa pb得出的向量長度有可能和pc相等,但是方向一定是不對的 反向 ...

已知平面向量求解析式,已知平面向量a (1,1),b (1, 1),求兩向量夾角。

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向量是現代數學中重要和基本的數學概念之一,是溝通代數幾何與三角函式的一種重要工具和橋樑,同時也是一種重要的數學語言,同時還廣泛應用於物理和科技領域。雖然向量具有良好的運算通性,幾何的直觀性,表述和處理問題的簡潔性,但仍在最近才被引入高中數學教材,受傳統數學知識及傳統思想的影響,高中學生對向量的基礎知...