1樓：
是tanx = x+ (1/3)x^3 +....
不同，sinx是：sinx = x-(1/6)x^3+.....
常用泰勒式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k + ……(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
獨缺tanx 泰勒式。有好事者用sinx/cosx算出 tanx 泰勒式的前五項。
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+o[x]^11
最後一項是餘項,(|x|<π/2).
方法就是多項式的 豎式除法 ，只不過是把低次冪排在前面。
由於這個多項式的豎式除法很繁瑣，我只弄了四項，足可幫助理解。
當|x|<π/4時，捨棄餘項，誤差較小。
當x＝π/4時， tanx=1，無須tanx 泰勒式。
當π/41,誤差很大。
這種情況要轉換思路，令y=π/2-x,用10階泰勒式算出tany，然後 tanx=1/tany
同理，當-π/2，然後 tanx=1/tany
所以， 當x＝π/4時， tanx泰勒式誤差最大。
10階五項 tan(π/4)＝0.99917，誤差8.3/10000
6階三項 tan(π/4)＝0.9867，誤差 >1%
直接用sinx,cosx的泰勒式相除，分別取前三項
sin(π/4)=0.707143, cos(π/4)=0.707429, sin(π/4)/ cos(π/4)=0.999595, 誤差約4/10000
對比可知，五項tanx的泰勒式比三項sinx/cosx的泰勒式誤差還大，
並且π/4
所以 tanx泰勒式不常用。
不過，當 |x|<π/6時，tanx的泰勒式的誤差還算小 ，可用。
擴充套件資料
1、三角函式y=sinx和y=cosx。
解：根據導數表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……
於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……
最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。）
類似地，可以y=cosx。
2、計算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。
解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林式並捨棄餘項：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。
3、尤拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位）
證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。
由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。有興趣的話可自行證明一下。
2樓：我是一個麻瓜啊
tanx的泰勒：
sinx的泰勒：
tanx的泰勒sinx的泰勒不一樣。
擴充套件資料泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函式f(x)利用關於(x-x0)的n次多項式來逼近函式的方法。
若函式f(x)在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有(n+1)階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：
3樓：眼看社會百態
這個數學題很難哦，都看不懂是什麼意思。那你身邊的同學吧。
4樓：匿名使用者
tanx = x+ (1/3)x^3 +....
sinx = x-(1/6)x^3+.....
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