1樓：匿名使用者
公式定義與證明 泰勒公式（taylor's formula） 泰勒中值定理：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為一個關於（x-x.)多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!?(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.
)^n+rn 其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.
之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。 （注：f(n)(x.
)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。
） 證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.
)=f'(x.)δx），其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.
)^n 來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.
),p'(x.)=f'(x.),p''(x.
)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.
)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.
)=2!a2,a2=f''(x.)/2!
……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.
)/n!。至此，多項的各項係數都已求出，得：p(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!?(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.
)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.
)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.
)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（rn(x)-rn(x.
)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：
(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.
之間；繼續使用柯西中值定理得（rn'(ξ1)-rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.
)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!
，這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!
an,n!an是一個常數，故p(n+1)(x)=0，於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?
(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把rn(x)寫為rn。
麥克勞林式：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為一個關於x多項式和一個餘項的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?
x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+rn 其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?
x^(n+1),這裡0<θ<1。 證明：如果我們要用一個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.
=0時的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?
x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。
麥克勞林式的應用： 1、三角函式y=sinx和y=cosx。 解：
根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 於是得出了週期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最後可得：
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!
+x^9/9!-……（這裡就寫成無窮級數的形式了。） 類似地，可以y=cosx。
2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：對指數函式y=e^x運用麥克勞林式並捨棄餘項：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。 3、尤拉公式：
e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位） 證明：這個公式把複數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：
先指數函式e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪週期性，可已把係數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的式。然後讓sinx乘上提出的i，即可匯出尤拉公式。
有興趣的話可自行證明一下。
2樓：知道了大白
泰勒公式是一個用函式在某點資訊描述其附近取值的公式，如果函式滿足一定的條件，泰勒公式可以用函式在某一點的各階導數值做係數，構建一個多項式來近似表達這個函式。
3樓：匿名使用者
這是高等數學裡的問題……
泰勒公式是怎樣得出來的，淺學了一些數學
4樓：小劉胡侃
函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數，我們希望找到一個n次多項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值，容易確定這個多項式就是
pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.
確定pn(x)一點也不困難，困難的是證明泰勒公式的餘項rn(x)=f(x)-pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x與x0之間），這需要用n+1次柯西中值定理，教科書上都有詳細的證明，可參閱同濟高等
數學第五版上冊p138、p139頁。
5樓：匿名使用者
這一個還真不知道的呢，不知道怎麼回事的呢
數學，泰勒公式，有人知道泰勒公式是怎麼推匯出來的嗎？
6樓：南雨城下
如果你不是數學專業的背背公式就足夠用了，不說我們，哪怕很多非數學專業的博士教授也推不出來的，畢竟這是一個數學家幾乎一生的心血，你幾天就想搞得清楚，怎麼可能呢。
7樓：匿名使用者
比如三角函式是通過直角三角形的邊的比值推導過來的，很容易理解，但泰勒公式我就不懂了 教材裡也沒有找到推導過程 各種三角函式和指數函式的公式我是知道的，但泰勒公式的本身是怎麼推導來的我不知道
8樓：哈哈
^函式duf(x)在點x0某鄰
域內zhi具有直到n+1階導數，我們dao希望找到一個n次多項內式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使容這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值，容易確定這個多項式就是
pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.
9樓：匿名使用者
函式f(x)在點baix0某鄰域內具有du直到n+1階導數zhi,我們希望找到一個n次多dao項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使這個多內項式與f(x)在容x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值,容易確定這個多項式就是
pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
這個多項式就稱為f(x)在x0處的n階泰勒公式.
確定pn(x)一點也不困難,困難的是證明泰勒公式的餘項rn(x)=f(x)-pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x與x0之間）,這需要用n+1次柯西中值定理,教科書上都有詳細的證明,可參閱同濟高等數學第五版上冊p138、p139頁.
10樓：匿名使用者
泰勒公式是數學分析中的結果，你用中學數學的思想當然就不懂了。
11樓：匿名使用者
數學，理工學科，高考，學習
12樓：匿名使用者
函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數，我們希望找到一個n次多項式專
屬pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使這
個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值，容易確定這個多項式就是.函式f(x)在點x0某鄰域內具有直到n+1階導數，我們希望找到一個n次多項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n，使這個多項式與f(x)在x0處具有相同的函式值及相同的直到n階的導數值，容易確定這個多項式就是.
什麼是泰勒公式
泰勒中值定理 若函式f x 在開區間 a，b 有直到n 1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為一個關於 x x.多項式和一個餘項的和 f x f x.f x.x x.f x.2 x x.2,f x.3 x x.3 f n x.n x x.n rn 其中rn f n 1 n 1 x x.n 1 這裡...
用泰勒公式計算極限，要過程，用泰勒公式求極限 要到多少項
2 y 0時,1 y 1 y 2 y 2 8 o y 2 因此x 0時 1 x 2 1 x 2 2 x 4 8 o x 4 即分子 1 x 2 1 x 2 2 x 4 8 o x 4 y 0時,e y 1 y o y 2 因此x 0時e x 2 1 x 2 o x 2 又cos x 1 x 2 2 ...
高數泰勒公式中的餘項問題，高數 請問泰勒公式怎麼知道x0是0還是別的數
先說1,2,peano餘項的問題.其實定理敘述的比較清楚,f x 在0的n階taylor帶有一個o x n 的餘項.從這個角度說cos x 的2階taylor就是cos x 1 1 2 x o x 那麼為什麼又有cos x 1 1 2 x o x 呢?原因很簡單,這是cos x 的3階taylor,...