1樓：
f(x)=x/(1+^2) f(x)/x=1/(1+x^2)
同取積分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然後，同對x求導
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2))
這正是首項為x，公比為-x^2的等比級數的收斂函。
因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
擴充套件資料：
冪級數，是數學分析當中重要概念之一，是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數的整數，a為常數）。
冪級數是數學分析中的重要概念，被作為基礎內容應用到了實變函式、複變函式等眾多領域當中。
2樓：
1/(1-x)²=【1/（1-x）】』
=（∞∑n²·xⁿ）'
=∞∑n1·nx^n-1
其他類似題型參考
1、求x/(1-x^2)為x的冪級數
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]
因為1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n，x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n，x∈(-1,1)
所以f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n，x∈(-1,1)
寫得再清楚一點，就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
其實，如果細心一點觀察，就可以發現：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
這正是首項為x，公比為x^2的等比級數的收斂函式~~~
因此，直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1)，x∈(-1,1)
2、求x/(1+x^2)為x的冪級數
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取積分：
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt
=arctanx
=∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然後，同對x求導
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此，f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1)
3樓：茹翊神諭者
利用1/1-x的冪級數
詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
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