1樓：蘇延佟佳靖之
因式分解
十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。
注意三原則：
1．分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最後結果只有小括號
3．最後結果中多項式首項係數為正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首項一定為正，如-2x-3xy-4xz=
-x(2+3y+4z)
歸納方法：
1．提公因式法。
2．運用公式法。
3．拼湊法。
提取公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.公因式可以是單項式，也可以是多項式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。
口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
例如：注意：把
變成不叫提公因式
公式法根據因式分解與整式乘法的關係，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。
平方差公式：
反過來為
完全平方公式：
反過來為
反過來為
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
兩根式：
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3
公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2+4ab+4b2
=(a+2b)2
1．分解因式技巧掌握：
①分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。
③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。
2．提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式
（2）提公因式並確定另一個因式
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母
②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同
解方程法
通過解方程來進行因式分解，如：
x2-6x+8=0
,解，得x1=2，x2=4，就得到原式=（x-2）（x-4）
2樓：苑貝粟信
因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下:
1、提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、分解因式x
-2x-x(2003淮安市中考題)
x-2x
-x=x(x
-2x-1)
2、應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a
+4ab+4b
(2003南通市中考題)
解:a+4ab+4b
=(a+2b)
3、分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m
+5n-mn-5m
解:m+5n-mn-5m=
m-5m
-mn+5n=(m
-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
對於mx
+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x
-19x-6
分析:1-37
22-21=-19
解:7x
-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x
+3x-40
解x+3x-40=x
+3x+()-(
)-40
=(x+)-(
)=(x+
+)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x
-x-6x
-x+2
解:2x
-x-6x
-x+2=2(x
+1)-x(x
+1)-6x
=x[2(x
+)-(x+
)-6令y=x+,x
[2(x
+)-(x+
)-6=
x[2(y
-2)-y-6]=x
(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x+
+2)(2x+
-5)=
(x+2x+1)
(2x-5x+2)
=(x+1)
(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x
,x,x
,……x
,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)例8、分解因式2x
+7x-2x
-13x+6
解:令f(x)=2x
+7x-2x
-13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為
，-3，-2，1
則2x+7x
-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、圖象法
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖象與x軸的交點x
,x,x
,……x
，則多項式可因式分解為f(x)=
f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)例9、因式分解x
+2x-5x-6
解:令y=
x+2x
-5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x+2x
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)
分析:此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解:a(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)=a
(b-c)-a(b
-c)+(b
c-cb)
=(b-c)
[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x
+9x+23x+15
解:令x=2，則x
+9x+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x+9x
+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x
-x-5x
-6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x
-x-5x
-6x-4=(x
+ax+b)(x
+cx+d)=x
+(a+c)x
+(ac+b+d)x
+(ad+bc)x+bd
所以解得
則x-x
-5x-6x-4
=(x+x+1)(x
-2x-4)
3樓：郎秀英費緞
⑴提公因式法
①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.
②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的.
如果多項式的第一項是負的，一般要提出「－」號，使括號內的第一項的係數是正的.
⑵運用公式法
①平方差公式：.
a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式：
a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝
(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝
(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式：
a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)
⑶分組分解法
分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.
分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.
⑷拆項、補項法
拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p
q）x＋pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：
x^2＋（p
q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m
時，那麼
kx^2＋mx＋n＝（ax
b）（cxd）a
\-----/b
ac＝k
bd＝n
c/-----\d
ad＋bc＝m
※多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.
(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。
因式分解與分解因式的區別
溫柔的張秀霞 因式分解與分解因式沒有區別。基本概念 定義1 把一個多項式在一個範圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。2 因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，在數學求根作圖 解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，...
因式分解的問題？因式分解的問題？
方法如下，請作參考 這個跟一般的作除法是一樣，被除數和除數都按照未知數的降冪書寫，然後被除數最高次除以除數的最高次作為商，依次進行。如下圖 通過湊齊最高冪次的項，再相減，一級一級運算下來，從而完成因式分解。把一個多項式在一個範圍 如實數範圍內分解，即所有項均為實數 化為幾個整式的積的形式。可以繼續除...
如何因式分解？如何因式分解呢？
x n 1因式分解是 x n 1 x 1 1 x x 2 x n 2 x n 1 因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。分解方法 1 因式分解主要有十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法等方法，求根公因...