1樓：樓智撒棋
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb證明
如圖我們先來證明cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
在標準圓中.ab為直徑.長度為1
由圓的性質可知角adb和角acb為90度.另做一條垂直線ce於ad上.
令角a為角bac
角b為角dac
則角(a-b)為角bad
證明如下:
cos(a-b)=ad/ab=ad
①cosa=ac/ab=ac
②sina=bc/ab=bc
③cosb=ae/ac
④sinb=ce/ac
聯立①③可知
cosb=ae/cosa
即cosacosb=ae.
所以要證明cos(a-b)=cosacosb+sinasinb即要證明ad=ae+sinasinb
又ad=ae+ed
即只要證明sinasinb=ed即可
即要證明bc*ce/ac=ed
即要證明ce/ac=ed/bc
注意到三角形cef相似於三角形bdf(三個角相同),則可知道ed/bc=ef/cf(相似三角形定理)
所以要證明命題.只需要證明ce/ac=ef/cf
注意到角ecf+角eca=90度並且角eca+角cae=90度可知角ecf=角eac.又角cef=角aec=90度.可推出三角形aec相似於三角形cef
即可以證明ce/ac=ef/cf
即證明了cos(a-b)=cosacosb+sina+sinb
[attach]59733[/attach]
由sinθ=cos(-θ)
得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β]
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
又∵cos(-α)=sinα
sin(-α)=cosα
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
2樓：鮮于傅香府琬
現在考慮如何運用兩點間的距離公式，把兩角和的餘弦cos(a+b)用a、b的三角函式表示如圖：在直角座標系xoy內作單位圓o，並作出角a，b與-b，使角a的始邊為ox，交圓o於點p1，終邊交圓o於點p2；角b的始邊為op2，終邊交圓o於點p3，角-b的始邊為op1，終邊交圓o於點p4。這時點p1，p2，p3p4的座標分別是：
p1（1，0），p2（cosa，sina），p3(cos(a+b)，sin(a+b))，p4(cos(-b)，sin(-b))由p1p3=p2p4及兩點間的距離公式，得：
[cos(a+b)-1]2+sin2(a+b)=[cos(-b)-cosa]2+[sin(-b)-sina]2並整理得：
cos(a+b)
=cosacosb-
sinasinb
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