複變函式問題,複變函式問題

時間 2021-08-30 11:14:12

1樓:小影子快

這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z^α會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的「主值」,這時候多值函式就變成單值函式了。

但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候反而希望兼顧函式的所有值,而不是單個的值。在這個題,決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候,2kα必定是偶數,而函式exp(z)是周期函式,所以當自變數相差2πi的整數倍的時候,函式值是相同的,也就是說函式值和整數k無關,所以這個時候是單值的。

當α是有理數的時候,不妨假設α=p/q(既約分數),那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候,2k1α和2k2α之間的差也是偶數,這個時候還是因為exp(z)的週期性,從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候,函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍,也就是說被q除還有餘數,那麼函式值就有可能不同。

因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能,所以會有q個值。這個時候,冪函式z^α是多值函式,且有q個值。當α是無理數的時候,就不滿足整除餘數的週期性了,所以對於不同的k值,就有不同的函式值,因此z^α函式也是多值函式,函式值的個數是可數無窮多個。

2樓:羅未家憶雪

這道題涉及到儒歇定理:設函式f(z),g(z)在閉路c及其內部解析(即內部處處可導)且在c上有不等式|f(z)|>|g(z)|,則在c的內部f(z)+g(z)和f(z)的零點個數相等

這道題就是把2.5代入

f(z)=z^5,和g(z)=5z^3+z-2|f(z)|>|g(z)|

根據儒歇定理可知z^5=0與z^5+5z^3+z-2=0的根相同因為z^5=0在有|z|<5/2內有五階零點z=0,即f(z)=z^5有5個零點,所以z^5+5z^3+z-2=0有五個根。即五個零點。

複變函式問題

3樓:fly劃過的星空

這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z^α會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的「主值」,這時候多值函式就變成單值函式了。

但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候反而希望兼顧函式的所有值,而不是單個的值。在這個題,決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候,2kα必定是偶數,而函式exp(z)是周期函式,所以當自變數相差2πi的整數倍的時候,函式值是相同的,也就是說函式值和整數k無關,所以這個時候是單值的。

當α是有理數的時候,不妨假設α=p/q(既約分數),那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候,2k1α和2k2α之間的差也是偶數,這個時候還是因為exp(z)的週期性,從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候,函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍,也就是說被q除還有餘數,那麼函式值就有可能不同。

因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能,所以會有q個值。這個時候,冪函式z^α是多值函式,且有q個值。當α是無理數的時候,就不滿足整除餘數的週期性了,所以對於不同的k值,就有不同的函式值,因此z^α函式也是多值函式,函式值的個數是可數無窮多個

複變函式的問題

4樓:有點傻

這裡介紹一種簡單的方法:把複數化為三角函式然後進行分部積分即可。 然後分別兌實部和虛部進行積分。

先求被積函式的原函式。 因此得到 【如果是不定積分,上式末尾應該加上常數c。】因此 同理可以求出 因此最後的結果為

一個複變函式問題

5樓:黃徐升

3^(3-i)=3^3*3^(-i)

=27*e^[ln(3)*(-i)]

=27*e^

=27*

=27*

複變函式的問題

6樓:徐少

解析://尤拉公式(推導省略):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2~~~~~~~~~~~~~~~

設arctanz=θ,則tanθ=z

sinθ/cosθ=z

[e^(iθ)-e^(-iθ)]/[e^(iθ)+e^(-iθ)]=z/1

[2e^(iθ)]/[2e^(-iθ)]=(1+z)/(1-z)e^(2iθ)=(1+z)/(1-z)

ln[e^(2iθ)]=ln[(1+z)/(1-z)]2iθ=ln[(1+z)/(1-z)]

θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]此為公式:

arctanz=θ⇒θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ps://很早就看到你的問題了//

//早已收藏,忙,未回答//

//等比定理:

a/b=c/d⇒[(b+a)/(b-a)]=[(d+c)/(d-c)]

7樓:韜子活寶

cosz=(e^iz+e^-iz)/2,sinz=(e^iz-e^-iz)/i2,tanz=sinz/cosz,設z=cosw,那麼稱w為z的反餘弦函式,記作w=arccosz.由z=cosw==(e^iw+e^-iw)/2,得e^2iw-2ze^iw+1=0,方程的根為e^iw=z+根號(z^2-1),兩邊取對數得arccosz=-iln(z+根號(z^2-1)).用上面同樣的步驟可得到arctanz=-i/2ln【(1+iz)/(1-iz)】.

8樓:端禎青麗雅

並不是任何f(x,y)形式的函式都可以化成f(z)形式的式子。

例如:x+y.

x-iy,

2x+iy

等等。都不能化成f(z)的形式。

但是如果這個f(x,y)的確是z=x+iy的一個函式,那麼就可以用你的老師給你的

方法直接寫出來了。這是因為:假如f(x,y)=g(z)=g(x+iy).

在g(x+iy)中令y=0,得到g(x).把這個g(x)中的x換成z.就是g(z)

即:g(x+iy)中令y=0,x換成z.就得到g(z)。

注意f(x,y)=g(x+iy).

所以f(x,y)中令y=0,x換成z.就得到g(z)。[f(x,y)的z表示式!]。

(本題例子g(z)=i(2z-z²).如果你不怕麻煩,可以用x=z-iy.代入原式。

化簡之後,含y的項都會消去,最後只留下i(2z-z²).)

9樓:改然錢如之

不可能,因為連續性導致f(0)=0,

然而解析函式0點都是孤立的(這是一個定理,需要使用級數表示式證明),也就不可能在z=0附近有無窮多的零點。

10樓:騰秀榮夕衣

這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z^α會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的「主值」,這時候多值函式就變成單值函式了。

但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候反而希望兼顧函式的所有值,而不是單個的值。在這個題,決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候,2kα必定是偶數,而函式exp(z)是周期函式,所以當自變數相差2πi的整數倍的時候,函式值是相同的,也就是說函式值和整數k無關,所以這個時候是單值的。

當α是有理數的時候,不妨假設α=p/q(既約分數),那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候,2k1α和2k2α之間的差也是偶數,這個時候還是因為exp(z)的週期性,從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候,函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍,也就是說被q除還有餘數,那麼函式值就有可能不同。

因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能,所以會有q個值。這個時候,冪函式z^α是多值函式,且有q個值。當α是無理數的時候,就不滿足整除餘數的週期性了,所以對於不同的k值,就有不同的函式值,因此z^α函式也是多值函式,函式值的個數是可數無窮多個。

11樓:光蘭有昭

(u,v應該分別是f(z)的實部和虛部吧)由條件知au(x,y)+bv(x,y)=c。

兩邊對x求偏導,得a(∂u/∂x)+b(∂v/∂x)=0;

兩邊對y求偏導,得a(∂u/∂y)+b(∂v/∂y)=0。

而由f解析,由cauchy-riemann定理知∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x,所以方程成為

a(∂u/∂x)-b(∂u/∂y)=0;

b(∂u/∂x)+a(∂u/∂y)=0。

其中a,b不全為零,易解得∂u/∂x=∂u/∂y=0,所以u是常數;

再由cauchy-riemann定理知∂v/∂x=∂v/∂y=0,所以v是常數。

所以f(z)是常數。證畢

複變函式問題?

12樓:電燈劍客

這裡用的是一階導數的cauchy積分公式, (sinz)'=cosz在pi/2處為0, 所以結果就是0, 不用管前面差一個2*pi*i的倍數

又是複變函式問題,又是一個複變函式問題

首先要說明的是零點一般出現在分子上面 比如z 0就是7階零點。極點一般都出現在分母上,你分解因式到最簡單的情況,如下 k為係數 k z a m z b n.那麼就依次代表的是 a是m階極點。b是n階極點。類似如果還有 z c p的因子,那麼c就是p階極點。當然上面的判斷要求上下都沒有公因子了,要不然...

複變函式求導問題,複變函式求導,怎麼求啊

我的寶貝 注意條件,f z 只在x y上可導,f z 2x他在複平面不解析,所以不能用z代替x,0代替y,這種情況是在解析的情況才能這樣做的 桑樂天 f z x 2 i y 2 u x 2 v y 2 偏u 偏x 2x.偏u 偏y 0 偏v 偏x 0.偏v 偏y 2y 當z 1 i時,x 1,y 1...

複變函式級數收斂問題,複變函式,求解釋,級數問題

天枰快樂家族 乘進去後合併同類項嘛.乘進去後z n n 1 前的係數是 1 5 1 2 n 1 n 1 3 n 1 2 n 1 1 n 3 n 1 1 5 1 2 n 1 1 n 3 n 1 1 n 1 3 3 n 1 1 5 1 2 n 1 1 n 3 n 1 3 1 n 3 n 1 1 5 1 ...