1樓:敬夜卉
用s表示前n項和
s=1+4a+9a^2+16a^3+ … +[(n-1)^2]*a^(n-2)+(n^2)*a^(n-1) ①
as=a+4a^2+9a^3+16a^4+ … +[(n-1)^2]*a^(n-1))+(n^2)*a^n ②
①-②得:
(1-a)s=1+3a+5a^2+7a^3+ … +(2n-3)*a^(n-2)+(2n-1)*a^(n-1)-(n^2)*a^n ③
a(1-a)s=a+3a^2+5a^3+7a^4+ … +(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n-(n^2)*a^(n+1) ④
③-④得:
(1-a)^2*s=1+2a+2a^2+2a^3+2a^4+ … +2a^(n-1)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*s=1+2[a+a^2+a^3+a^4+ … +a^(n-1)]+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*s=1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
s=/(1-a)^2
剩下的自己整理吧。。。打的好辛苦哦。。。
用兩次錯位相消法
2樓:匿名使用者
是an=n^2*a^(n-1)吧?
一樓和二樓都不怎麼厚道啊。這不是等差數列,不能用等差數列求和,但可轉化為等差或等比數列的和來求。
sn=sigma(i=1,n)[an]=sigma(i=1,n)[n^2*a^(i-1)]
=sigma(i=1,n)[1^2*a^(i-1)]+sigma(i=2,n)[(2^2-1^2)*a^(i-1)]
+sigma(i=3,n)[(3^2-2^2)*a^(i-1)]+…………
=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[(j^2-(j-1)^2)*a^(i-1)]]
=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[(2j-1)*a^(i-1)]]
=sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)*(1-a^(n-j))/(1-a)] (等比數列求和)
=1/(1-a)*sigma(j=1,n)[(2j-1)*]
=1/(1-a)*]
其中後一個求和是一個等差數列,可用等差數列求和公式求出,前一個求和是
形如 an=n*a^n 的求和,可轉化為 n個等比數列求和式的和,即
sigma(i=1,n)[i*a^i]=sigma(i=1,i)[a^i]+sigma(i=2,n)[a^i]+…………
=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[a^i]] (內層是等比求和)
=sigma(j=1,n)[/(1-a)]
=1/(1-a)*
這兩項求和一個是等比一個是等差,故可求出。
至此問題轉化為已知問題(等差和等比求和),故可求出(往下具體運算從略)
3樓:
(a1+an)*n/2
或a1n+(n-1)n*d/2
4樓:冊小獃
(首項+末項)*項數
-------------------2
數列∑1/n^2 求和 15
5樓:匿名使用者
n^2 = n*(n+1)-n
= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n
即:1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1
2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2
3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3
……………………
求和即:
1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)
= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2
因此有:
1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6
證明一個與正整數n有關的命題,有如下步驟:
(1)證明當n取第一個值時命題成立;
(2)假設當n=k(k≥n的第一個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。
例:求證:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明:當n=1時,有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設命題在n=k時成立,於是:
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立,歸納得證。
6樓:陳
這個就是zeta(2),答案是π^2 /6
正弦函式無窮乘積結合taylor或者fourier級數都可以證明
7樓:火天雲野
方法一:
將sinx按泰勒級數:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
於是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根為0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根為π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根為π²,(2π)²,…
由韋達定理,常數項為1時,根的倒數和=一次項係數的相反數
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6
方法二:
複變函式的留數問題,令f(z)=1/z^2*cos(πz)/sin(πz).將此函式在以(-n-1/2,-n),(-n-1/2,n),(n+1/2,-n),(n+1/2,n)為頂點的矩形封閉路徑上積分,通過各項相消,易知此積分為0.同時由留數定理,此積分=1/2πi*(-π/3+2/π*(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...
+1/n^2)),兩邊取極限得 π/3-2/π*∑1/n^2=0,所以∑1/n^2=π²/6
8樓:沙青亦
沒有這個數列沒法求和 只可以放縮
連數學家都不可以把它求出來
不過我可以幫你把他縮小或放大一點點
9樓:匿名使用者
六分之pi平方
pi^2/6
10樓:匿名使用者
1-(1/2)ⁿ 不知道你們回答是什麼玩意,跟題一點都不沾邊還有100+贊,搞笑
求若干數列求和公式 a^0+a^1+a^2+a^3+……+a^n-1+a^n
11樓:hi小熊快跑啊
1 是等比數列
sn= (a-a^n×a)/(1-a) (a≠1)2是平方和求和公式
sn=n(n+1)(2n+1)/6
3是級數求和公式推倒比較複雜,暫時沒有固定的求和公式如果滿意,敬請採納。謝謝
12樓:
不妨忽略0^0的情況;(沒有定義)
1.等比數列求和,(1-a^(n+1))/(1-a)(a不等於1) a為1時和為n+1
2.∑n^n未能解決
3先舉個求平方和的例子,
基本上是由已知的和求未知的和,個人認為用組合數來做比較輕鬆,利用高階等差數列的知識待定係數,矩陣方法也行,總之方法很多。事實上所得結果的係數與伯努利數有關,即
相關知識請查詢資料,就不在此贅述啦。
希望我的回答能幫到你。
【急】求和 (a-1)+(a^2-2)+...+(a^n-n)
13樓:匿名使用者
把 被減數放在一起構成數列a, 減數放在一起構成數列b,
a是等比數列,b是等差數列, 兩個求和並相減
樓上的有錯誤啊,等比數列要考慮 a=1 啊
14樓:匿名使用者
解:(a-1)+(a^2-2)+...+(a^n-n)=a+a^2+...+a^n+(-1-2-...-n)
=(a-a^(n+1))/(1-a)-n(n+1)/2
15樓:
把括號去掉 就是一等比數列和一等差數列
16樓:柳濱蹇曼語
原式=(a+a^2+...a^n)-(1+2+...+n)前半部分是一個首項為a,公比為a的等比數列,後半部分是首項和公差都為1的等差數列
等比數列前n項和的求和公式:a1x(1-q^n)/1-q(q不等於1)
等差數列前n項和的求和公式:(a1+an)n/2分兩種情況討論:
(1)a=1
原式=n-(1+n)n/2
(2)a不等於1
原式=a(1-a^n)/1-a
-(1+n)n/2=
數列求和公式n 2 a n
是an n 2 a n 1 吧?一樓和二樓都不怎麼厚道啊。這不是等差數列,不能用等差數列求和,但可轉化為等差或等比數列的和來求。sn sigma i 1,n an sigma i 1,n n 2 a i 1 sigma i 1,n 1 2 a i 1 sigma i 2,n 2 2 1 2 a i ...
等差數列求和公式Sn d 2 n 2 a1 d
明鏡止水丶 通項公式 an a1 n 1 d an am n m d 等差數列的前n項和 sn n a1 an 2 sn na1 n n 1 d 2 等差數列求和公式 等差數列的和 首數 尾數 項數 2 項數的公式 等差數列的項數 尾數 首數 公差 1.化簡得 n 1 an 1 n 2 an a1,...
求數列an 2n 1 4 n 1的前n項和Sn,求和方
你好令bn 2n 1,b1 1,數列bn是首項是1,公差是2的等差數列 設數列bn前n項和為rn rn 1 2n 1 n 2 n 2 令cn 4 n 1 c1 1 數列cn是首項是1,公比是4的等比數列 設數列cn前n項和為tn tn 1 4 n 1 4 1 1 3 4 n 1 3所以an bn c...