數列求和公式n 2 a n

時間 2021-09-02 16:18:24

1樓:敬夜卉

用s表示前n項和

s=1+4a+9a^2+16a^3+ … +[(n-1)^2]*a^(n-2)+(n^2)*a^(n-1) ①

as=a+4a^2+9a^3+16a^4+ … +[(n-1)^2]*a^(n-1))+(n^2)*a^n ②

①-②得:

(1-a)s=1+3a+5a^2+7a^3+ … +(2n-3)*a^(n-2)+(2n-1)*a^(n-1)-(n^2)*a^n ③

a(1-a)s=a+3a^2+5a^3+7a^4+ … +(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n-(n^2)*a^(n+1) ④

③-④得:

(1-a)^2*s=1+2a+2a^2+2a^3+2a^4+ … +2a^(n-1)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)

(1-a)^2*s=1+2[a+a^2+a^3+a^4+ … +a^(n-1)]+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)

(1-a)^2*s=1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)

s=/(1-a)^2

剩下的自己整理吧。。。打的好辛苦哦。。。

用兩次錯位相消法

2樓:匿名使用者

是an=n^2*a^(n-1)吧?

一樓和二樓都不怎麼厚道啊。這不是等差數列,不能用等差數列求和,但可轉化為等差或等比數列的和來求。

sn=sigma(i=1,n)[an]=sigma(i=1,n)[n^2*a^(i-1)]

=sigma(i=1,n)[1^2*a^(i-1)]+sigma(i=2,n)[(2^2-1^2)*a^(i-1)]

+sigma(i=3,n)[(3^2-2^2)*a^(i-1)]+…………

=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[(j^2-(j-1)^2)*a^(i-1)]]

=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[(2j-1)*a^(i-1)]]

=sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)*(1-a^(n-j))/(1-a)] (等比數列求和)

=1/(1-a)*sigma(j=1,n)[(2j-1)*]

=1/(1-a)*]

其中後一個求和是一個等差數列,可用等差數列求和公式求出,前一個求和是

形如 an=n*a^n 的求和,可轉化為 n個等比數列求和式的和,即

sigma(i=1,n)[i*a^i]=sigma(i=1,i)[a^i]+sigma(i=2,n)[a^i]+…………

=sigma(j=1,n)[sigma(i=j,n)[a^i]] (內層是等比求和)

=sigma(j=1,n)[/(1-a)]

=1/(1-a)*

這兩項求和一個是等比一個是等差,故可求出。

至此問題轉化為已知問題(等差和等比求和),故可求出(往下具體運算從略)

3樓:

(a1+an)*n/2

或a1n+(n-1)n*d/2

4樓:冊小獃

(首項+末項)*項數

-------------------2

數列∑1/n^2 求和 15

5樓:匿名使用者

n^2 = n*(n+1)-n

= 1/3*[n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)] - n

即:1^2 = 1/3*(1*2*3-0*1*2)-1

2^2 = 1/3*(2*3*4-1*2*3)-2

3^2 - 1/3*(3*4*5-2*3*4)-3

……………………

求和即:

1/3*(1*2*3-0*1*2 + 2*3*4-1*2*3 + 3*4*5-2*3*4……)-(1+2+3+……)

= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2

因此有:

1^2+2^2+3^2+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6

證明一個與正整數n有關的命題,有如下步驟:

(1)證明當n取第一個值時命題成立;

(2)假設當n=k(k≥n的第一個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。

例:求證:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證明:當n=1時,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時成立,於是:

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當n=k+1時有:

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時原等式仍然成立,歸納得證。

6樓:陳

這個就是zeta(2),答案是π^2 /6

正弦函式無窮乘積結合taylor或者fourier級數都可以證明

7樓:火天雲野

方法一:

將sinx按泰勒級數:

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …

於是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …

令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …

而方程sinx=0的根為0,±π,±2π,…

故方程sin√y/√y=0的根為π²,(2π)²,…

即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根為π²,(2π)²,…

由韋達定理,常數項為1時,根的倒數和=一次項係數的相反數

即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!

故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6

方法二:

複變函式的留數問題,令f(z)=1/z^2*cos(πz)/sin(πz).將此函式在以(-n-1/2,-n),(-n-1/2,n),(n+1/2,-n),(n+1/2,n)為頂點的矩形封閉路徑上積分,通過各項相消,易知此積分為0.同時由留數定理,此積分=1/2πi*(-π/3+2/π*(1/1^2+1/2^2+1/3^2+...

+1/n^2)),兩邊取極限得 π/3-2/π*∑1/n^2=0,所以∑1/n^2=π²/6

8樓:沙青亦

沒有這個數列沒法求和 只可以放縮

連數學家都不可以把它求出來

不過我可以幫你把他縮小或放大一點點

9樓:匿名使用者

六分之pi平方

pi^2/6

10樓:匿名使用者

1-(1/2)ⁿ 不知道你們回答是什麼玩意,跟題一點都不沾邊還有100+贊,搞笑

求若干數列求和公式 a^0+a^1+a^2+a^3+……+a^n-1+a^n

11樓:hi小熊快跑啊

1 是等比數列

sn= (a-a^n×a)/(1-a) (a≠1)2是平方和求和公式

sn=n(n+1)(2n+1)/6

3是級數求和公式推倒比較複雜,暫時沒有固定的求和公式如果滿意,敬請採納。謝謝

12樓:

不妨忽略0^0的情況;(沒有定義)

1.等比數列求和,(1-a^(n+1))/(1-a)(a不等於1) a為1時和為n+1

2.∑n^n未能解決

3先舉個求平方和的例子,

基本上是由已知的和求未知的和,個人認為用組合數來做比較輕鬆,利用高階等差數列的知識待定係數,矩陣方法也行,總之方法很多。事實上所得結果的係數與伯努利數有關,即

相關知識請查詢資料,就不在此贅述啦。

希望我的回答能幫到你。

【急】求和 (a-1)+(a^2-2)+...+(a^n-n)

13樓:匿名使用者

把 被減數放在一起構成數列a, 減數放在一起構成數列b,

a是等比數列,b是等差數列, 兩個求和並相減

樓上的有錯誤啊,等比數列要考慮 a=1 啊

14樓:匿名使用者

解:(a-1)+(a^2-2)+...+(a^n-n)=a+a^2+...+a^n+(-1-2-...-n)

=(a-a^(n+1))/(1-a)-n(n+1)/2

15樓:

把括號去掉 就是一等比數列和一等差數列

16樓:柳濱蹇曼語

原式=(a+a^2+...a^n)-(1+2+...+n)前半部分是一個首項為a,公比為a的等比數列,後半部分是首項和公差都為1的等差數列

等比數列前n項和的求和公式:a1x(1-q^n)/1-q(q不等於1)

等差數列前n項和的求和公式:(a1+an)n/2分兩種情況討論:

(1)a=1

原式=n-(1+n)n/2

(2)a不等於1

原式=a(1-a^n)/1-a

-(1+n)n/2=

數列求和公式n 2 a n

是an n 2 a n 1 吧?一樓和二樓都不怎麼厚道啊。這不是等差數列,不能用等差數列求和,但可轉化為等差或等比數列的和來求。sn sigma i 1,n an sigma i 1,n n 2 a i 1 sigma i 1,n 1 2 a i 1 sigma i 2,n 2 2 1 2 a i ...

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求數列an 2n 1 4 n 1的前n項和Sn,求和方

你好令bn 2n 1,b1 1,數列bn是首項是1,公差是2的等差數列 設數列bn前n項和為rn rn 1 2n 1 n 2 n 2 令cn 4 n 1 c1 1 數列cn是首項是1,公比是4的等比數列 設數列cn前n項和為tn tn 1 4 n 1 4 1 1 3 4 n 1 3所以an bn c...