1樓：
設雙曲線方程為 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ，a>0, b>0 , 焦點在x軸.
則 漸近線為：
l1：y=(b/a)*x
l2：y=-(b/a)*x
p(x0, y0) 是雙曲線上任意一點，
設 y=-(b/a)*x+d 是過p點平行l2的直線，交y軸d(0, d)，與l1交於e(x1, y1)
則 d=(bx0+ay0)/a ,
x1=(bx0+ay0)/(2b) , x1 與 x0 同號因為 三角形doe的面積s1=|d*x1|/2於是所求面積s=|x0*d|-2*s1=|x0*d|-|x1*d|因為 x0與x1同號，所以
s=|x0-x1|*|d|
=(bx0-ay0)(bx0+ay0)/(2ab)=a^2*b^2/(2ab)=ab/2
即對已知雙曲線，s=ab/2 是定值。
2樓：孫啟航
解：設oq、or的傾斜角分別為α、β,夾角為θ,
tanα=b/a,tanβ=-b/a,cosα=a/√(a²+b²),cosβ=-a/√(a²+b²).
pr:y=b(x-x0)/a+y0,pq:y=-b(x-x0)/a+y0,
和雙曲線方程聯立可得xr=x0/2-ay0/2b,xq=x0/2+ay0/2b.
又|oq|cosα=x0,|or|=cos(π+β)=xr.
s=|oq|·|or|sinθ=-|x0|·|xr|/(cosαcosβ)·sinθ
`=(a²+b²)(x0²/a²-y0²/b²)sinθ/4
`=(a²+b²)sinθ/4為定值ab/2.
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